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東京医科歯科大学2012年度入試問題数学

90分、120点。


$ \fbox{1}$
数列 $ \{a_n\},\ \{b_n\}$ を次のように定義する。

\begin{displaymath}\begin{cases}
a_1=5,\ b_1=3, & \\ \\
\left(\begin{array}{c...
...\ b_n\end{array}\right) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) &
\end{cases}\end{displaymath}

また、自然数$ n$ について $ c_n={a_n}^2-{b_n}^2$ とおく。このとき以下の各問いに答えよ。

$ (1)$
$ c_n$$ n$ を用いて表せ。
$ (2)$
$ k$ を自然数とするとき、自然数$ l$ について

$\displaystyle a_{k+l}=a_ka_l+b_kb_l,\ b_{k+l}=b_ka_l+a_kb_l
$

が成立することを、$ l$ に関する数学的帰納法によって示せ。
$ (3)$
$ n>l$ となる自然数$ n,\ l$ について

$\displaystyle b_{n+l}-c_lb_{n-l}=2a_nb_l
$

が成立することを示せ。
$ (4)$
$ 2$ 以上の自然数$ n$ について

$\displaystyle a_{2n}+\sum_{m=1}^{n-1}{c_{n-m}a_{2m}}=\dfrac{b_{2n+1}}{2b_1}-\dfrac{c_n}{2}
$

が成立することを示せ。

$ \fbox{2}$
$ a^2+b^2=1$ を満たす正の実数$ a,\ b$ の組$ (a,\ b)$ の全体を$ S$ とする。$ S$ に含まれる$ (a,\ b)$ に対し、$ xyz$ 空間内に$ 3$ $ P(a,\ b,\ b),\ Q(-a,\ b,\ b),\ R(0,\ 0,\ b)$ をとる。また原点を$ O$ とする。このとき以下の各問いに答えよ。

$ (1)$
三角形$ OPQ$$ x$ 軸のまわりに$ 1$ 回転してできる立体を$ F_1$ とする。$ (a,\ b)$$ S$ の中を動くとき、$ F_1$ の体積の最大値を求めよ。
$ (2)$
三角形$ PQR$$ x$ 軸のまわりに$ 1$ 回転してできる立体を$ F_2$ とする。 $ a=b=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$ F_2$$ xy$ 平面による切り口の周を$ xy$ 平面上に図示せよ。
$ (3)$
三角形$ OPR$$ x$ 軸のまわりに$ 1$ 回転してできる立体を$ F_3$ とする。$ (a,\ b)$$ S$ の中を動くとき、$ F_3$ の体積の最大値を求めよ。

$ \fbox{3}$
関数 $ f(x)=x^3-x^2+x$ について、以下の各問いに答えよ。

$ (1)$
$ f(x)$ はつねに増加する関数であることを示せ。
$ (2)$
$ f(x)$ の逆関数を$ g(x)$ とおく。$ x>0$ について

$\displaystyle \sqrt[3]{x}-1<g(x)<\sqrt[3]{x}+1
$

が成立することを示せ。
$ (3)$
$ b>a>0$ について

$\displaystyle 0<\int_{a}^{b}{\frac{1}{x^2+1}dx}<\frac{1}{a}
$

が成立することを示せ。
$ (4)$
自然数$ n$ について、$ (2)$ で定義された関数$ g(x)$ を用いて

$\displaystyle A_n=\int_{n}^{2n}{\frac{1}{{\{g(x)\}}^3+g(x)}dx}
$

とおくとき、極限値 $ \displaystyle \lim_{n\to\infty}{A_n}$ を求めよ。

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