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東京医科歯科大学2010年度入試問題数学

90分、120点。


$ \fbox{1}$ $ a,\ b,\ c$ を相異なる正の実数とするとき、以下の各問いに答えよ。

$ (1)$
次の$ 2$ 数の大小を比較せよ。

$\displaystyle a^3+b^3,\ a^2b+b^2a
$

$ (2)$
次の$ 4$ 数の大小を比較し、小さい方から順に並べよ。

$\displaystyle (a+b+c)(a^2+b^2+c^2),\ (a+b+c)(ab+bc+ca),\ 3(a^3+b^3+c^3),\ 9abc
$

$ (3)$
$ x,\ y,\ z$ を正の実数とするとき

$\displaystyle \dfrac{y+z}{x}+\dfrac{z+x}{y}+\dfrac{x+y}{z}
$

の取り得る値の範囲を求めよ。


$ \fbox{2}$ (医学部)座標空間において、$ 8$ $ O(0,\ 0,\ 0),\ A(1,\ 0,\ 0),\ B(0,\ 1,\ 0),\ C(0,\ 0,\ 1),\ D(0,\ 1,\ 1),\ E(1,\ 0,\ 1),\ F(1,\ 1,\ 0),\ G(1,\ 1,\ 1)$ をとり、この$ 8$ 点を頂点とする立方体を$ Q$ とする。また点 $ P(x,\ y,\ z)$ と正の実数$ t$ に対し、$ 6$ $ (x+t,\ y,\ z),\ (x-t,\ y,\ z),\ (x,\ y+t,\ z),\ (x,\ y-t,\ z),\ (x,\ y,\ z+t),\ (x,\ y,\ z-t)$ を頂点とする正八面体を $ {\alpha}_t(P)$ 、その外部の領域を $ {\beta}_t(P)$ で表す。ただし、立方体および正八面体は内部の領域を含むものとする。このとき以下の各問いに答えよ。

$ (1)$
$ 0<t\leqq 1$ のとき、 $ Q\cap {\beta}_t(O)\cap {\beta}_t(D)\cap {\beta}_t(E)\cap {\beta}_t(F)$ の体積、すなわち$ 5$ 個の領域 $ Q,\ {\beta}_t(O),\ {\beta}_t(D),\ {\beta}_t(E),\ {\beta}_t(F)$ の共通部分の体積を$ t$ で表せ。

$ (2)$
$ Q\cap {\alpha}_1(O)\cap {\beta}_1(A)\cap {\beta}_1(B)\cap {\beta}_1(C)$ の体積を求めよ。

$ (3)$
$ 0<t\leqq 1$ のとき、

$\displaystyle Q\cap {\beta}_t(O)\cap {\beta}_t(A)\cap{\beta}_t(B)\cap{\beta}_t(C)\cap{\beta}_t(D)\cap{\beta}_t(E)\cap{\beta}_t(F)\cap{\beta}_t(G)
$

の体積を$ t$ で表せ。


$ \fbox{2}$ (医学部以外)座標空間において、$ 8$ $ O(0,\ 0,\ 0),\ A(1,\ 0,\ 0),\ B(0,\ 1,\ 0),\ C(0,\ 0,\ 1),\ D(0,\ 1,\ 1),\ E(1,\ 0,\ 1),\ F(1,\ 1,\ 0),\ G(1,\ 1,\ 1)$ をとり、この$ 8$ 点を頂点とする立方体を$ Q$ とする。また点 $ P(x,\ y,\ z)$ と正の実数$ t$ に対し、$ 6$ $ (x+t,\ y,\ z),\ (x-t,\ y,\ z),\ (x,\ y+t,\ z),\ (x,\ y-t,\ z),\ (x,\ y,\ z+t),\ (x,\ y,\ z-t)$ を頂点とする正八面体を $ {\alpha}_t(P)$ 、その外部の領域を $ {\beta}_t(P)$ で表す。ただし、立方体および正八面体は内部の領域を含むものとする。このとき以下の各問いに答えよ。

$ (1)$
$ 0<t\leqq 1$ のとき、$ Q$ $ {\alpha}_t(O)$ の共通部分 $ Q\cap {\alpha}_t(O)$ の体積を$ t$ で表せ。

$ (2)$
$ Q\cap {\beta}_1(O)\cap {\beta}_1(D)\cap {\beta}_1(E)\cap {\beta}_1(F)$ の体積を求めよ。

$ (3)$
$ \dfrac{1}{2}<t\leqq 1$ のとき、 $ Q\cap {\alpha}_t(O)\cap {\alpha}_t(A)$ の体積を$ t$ で表せ。

$ (4)$
$ t$ $ 0<t\leqq 1$ の範囲で変化するとき、

$\displaystyle Q\cap {\alpha}_t(O)\cap {\beta}_t(A)\cap{\beta}_t(B)\cap{\beta}_t(C)
$

の体積が最大となる$ t$ の値を求めよ。


$ \fbox{3}$ $ xy$ 平面において、次の円$ C$ と楕円$ E$ を考える。


$\displaystyle C\ :\ x^2+y^2=1$      
$\displaystyle E\ : \ x^2+\dfrac{y^2}{2}=1$      

また、$ C$ 上の点$ P(s,\ t)$ における$ C$ の接線を$ l$ とする。このとき以下の各問いに答えよ。

$ (1)$
$ l$ の方程式を$ s,\ t$ を用いて表せ。

以下、$ t>0$ とし、$ E$$ l$ から切り取る線分の長さを$ L$ とする。

$ (2)$
$ L$$ t$ を用いて表せ。

$ (3)$
$ P$ が動くとき、$ L$ の最大値を求めよ。

$ (4)$
$ L$$ (3)$ で求めた最大値をとるとき、$ l$$ E$ が囲む領域のうち、原点を含まない領域の面積を$ A$ とする。$ A$ の値を求めよ。

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