トップ>>東京医科歯科大学入試過去問題>>2005年度>>数学


東京医科歯科大学2005年度入試問題数学

90分、120点。


$ \fbox{1}$ 以下の各問いに答えよ。

$ (1)$
次のように定義される数列$ \{a_n\}$ の一般項を求めよ。

\begin{displaymath}
\begin{cases}
a_1=\dfrac{1}{2},\ a_2=\dfrac{7}{4} & \\ \\
...
...rac{5}{2}a_{n-1}-a_{n-2}\ (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots) &
\end{cases}\end{displaymath}

$ (2)$
次のように定義される数列$ \{b_n\}$ の一般項を求めよ。

\begin{displaymath}
\begin{cases}
b_1=2,\ b_2=\dfrac{5}{2},\ b_3=\dfrac{17}{4} ...
...rac{7}{2}b_{n-2}+b_{n-3}\ (n=4,\ 5,\ 6,\ \cdots) &
\end{cases}\end{displaymath}


$ \fbox{2}$ 座標平面上で次のように媒介変数表示される曲線$ C$ を考える。

\begin{displaymath}
\begin{cases}
x=\sin{2\theta} & \\
y=\sin{3\theta}\ \ (0\leqq \theta\leqq 2\pi) &
\end{cases}\end{displaymath}


このとき以下の各問いに答えよ。

$ (1)$
曲線$ C$ 上で$ x>0$ かつ$ y>0$ となる$ \theta$ の範囲を求めよ。

$ (2)$
区間 $ 0\leqq \theta \leqq \pi$ において$ \vert x\vert=1$ または$ \vert y\vert=1$ となる$ \theta$ の値をすべて求めよ。
$ (3)$
次の3条件を満たす $ \theta_1,\ \theta_2$ の値を求めよ。

$\displaystyle 0\leqq \theta_1<\theta_2\leqq 2\pi,\ \sin{2\theta_1}=\sin{2\theta_2}>0,\ \sin{3\theta_1}=\sin{3\theta_2}>0
$

$ (4)$
曲線$ C$ が自分自身と交わる点の個数を求めよ。


$ \fbox{3}$ 次の条件 $ (i),\ (ii),\ (iii)$ を満たす関数 $ f(x)\ (x>0)$ を考える。

$ (i)$
$ f(1)=0$
$ (ii)$
導関数 $ f^{\prime}(x)$ が存在し、 $ f^{\prime}(x)>0\ (x>0)$
$ (iii)$
第2次導関数 $ f^{\prime\prime}(x)$ が存在し、 $ f^{\prime\prime}(x)<0\ (x>0)$

このとき以下の各問いに答えよ。

$ (1)$
$ a\geqq \dfrac{3}{2}$ のとき次の3数の大小を比較せよ。

$\displaystyle f(a),\ \dfrac{1}{2}\left\{f\left(a-\dfrac{1}{2}\right)+f\left(a+\dfrac{1}{2}\right)\right\},\ \int_{a-\frac{1}{2}}^{a+\frac{1}{2}}{f(x)dx}
$

$ (2)$
整数 $ n\ (n\geqq2)$ に対して、次の不等式が成立することを示せ。

$\displaystyle \int_{\frac{3}{2}}^{n}{f(x)dx}<\sum_{k=1}^{n-1}{f(k)}+\dfrac{1}{2}f(n)<\int_{1}^{n}{f(x)dx}
$

$ (3)$
次の極限値を求めよ。ただし$ \log$ は自然体数を表す。

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}{\dfrac{n+\log{n!}-\log{n^n}}{\log{n}}}
$

この問題の解答     この問題の解説     この問題のpdf


トップ>>東京医科歯科大学入試過去問題>>2005年度>>数学

©東京医科歯科大学入試過去問題、解答、解説