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東京医科歯科大学1992年度入試問題数学

90分、120点。


$ \fbox{1}$

$ (1)$
$ a>0,\ b\geqq0$ のとき、次の値の大小関係を調べよ。

$\displaystyle \int_{b}^{b+1}{\dfrac{dx}{\sqrt{x+a}}},\ \dfrac{1}{\sqrt{a+b}},\ \dfrac{1}{\sqrt{a+b+1}}
$

$ (2)$
$ \displaystyle \lim_{n\to\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{\sqrt{n^2+k}}}}$ の値を求めよ。

$ \fbox{2}$ $ xy$ 平面上で曲線$ y=be^{ax}$ と直線$ y=bx+a$ とが接しているとき、次の問いに答えよ。ただし、$ ab\ne0$ とする。

$ (1)$
$ b$$ a$ の関数として表せ。

$ (2)$
$ b$ の極小値を求めよ。

$ (3)$
$ (1)$ の関数のグラフの概形をかけ。

$ \fbox{3}$ $ xy$ 平面上の$ 2$ 直線


$\displaystyle l$ $\displaystyle :$ $\displaystyle \sqrt{3}x-y=\sqrt{3}$  
$\displaystyle m$ $\displaystyle :$ $\displaystyle x-\sqrt{3}y=-1$  

$ x$ 軸と交わる点をそれぞれ$ A,\ B$ とする。いま、点$ A$ を中心として直線$ l$$ 1$ 回転させ、同時に同じ速さで直線$ m$ を点$ B$ を中心として$ 1$ 回転させる。次のそれぞれの場合について、$ 2$ 直線の交点$ P$ のえがく図形の方程式を求め、その図形の概形をかけ。

$ (1)$
$ l$$ m$ を正の向きに回転させる場合

$ (2)$
$ l$ を正の向きに、$ m$ を負の向きに回転させる場合

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