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東京医科歯科大学2010年度入試問題物理解答

90分、120点。


$ \fbox{1}$

$ 1$
鉛直方向の力の釣り合いを考え、 $ N_1\cos{\theta}=mg$ となる。よって、 $ N_1=\dfrac{mg}{\cos{\theta}}$ である。

$ 2$
円運動の方程式より、

$\displaystyle m(R\sin{\theta}){\left(\dfrac{2\pi}{T}\right)}^2=N_1\sin{\theta}=mg\tan{\theta}
$

となる。よって、 $ T=2\pi\sqrt{\dfrac{R\cos{\theta}}{g}}$ である。グラフの概形は次のようになる。

\includegraphics[width=80mm]{3.eps}

$ 3$
向心方向の力の釣り合いを考え、 $ N_2=mg\cos{\theta}$ である。

$ 4$
力学的エネルギー保存則より、

$\displaystyle \dfrac{1}{2}m{v}^2=mgR(1-\cos{\theta})
$

となる。よって、 $ v=\sqrt{2gR(1-\cos{\theta})}$ である。また、円運動の方程式より、

$\displaystyle m\dfrac{v^2}{R}=N_3-mg
$

でとなる。よって、 $ N_3=mg(3-2\cos{\theta})$ である。

$ 5$
以下、球面とともに運動する立場で考える。

その時、見かけの重力加速度の大きさは $ \dfrac{2g}{\sqrt{3}}$ であり、向きは $ \overrightarrow{OA}$ 方向に対して時計回りに $ \dfrac{\pi}{6}$ の方向であるから、この方向に対して対称な運動をする。よって、

$\displaystyle \theta+\dfrac{\pi}{6}<\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{6}
$

であるから、 $ \theta<\dfrac{\pi}{6}$ が答えである。

$ 6$
向心方向の力の釣り合いを考え、 $ N_4=m\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}g\right)\cos{\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)}$ である。

$ 7$
$ O$ から見かけの重力の方向にある球面上の点で物体の速さは最大になる。エネルギー保存則より、

$\displaystyle \dfrac{1}{2}bV^2=m\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}g\right)R\{1-\cos{\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)}\}
$

となる。よって、 $ V=2\sqrt{\dfrac{gR}{\sqrt{3}}\{1-\cos{\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)}\}}$ である。

$ \fbox{2}$

$ 1$
$ R=\rho\dfrac{l}{\pi r^2}$

$ 2$
$ E=\dfrac{V}{l}$ で、電場の向きは $ B\rightarrow A$ である。

$ 3$
自由電子の運動の向きは $ A\rightarrow B$

$ 4$
$ ma=e\dfrac{V}{l}-kv$

$ 5$
$ v=v_1$ のとき、$ a=0$ であるから、問$ 4$ の運動方程式より、 $ v_1=\dfrac{eV}{kl}$ となる。

$ 6$
$ I=en(\pi r^2)v_1=\dfrac{\pi r^2 ne^2V}{kl}$

$ 7$
$ R=\dfrac{V}{I}=\dfrac{k}{ne^2}\cdot \dfrac{l}{\pi r^2}$ であるから、問$ 1$ の結果と比較して、 $ \rho=\dfrac{eV}{ml}$ である。

$ 8$
電子が電場から力を受けて運動する加速度を$ \alpha$ とすると、運動方程式より、

$\displaystyle m\alpha=e\dfrac{V}{l}
$

となる。よって、 $ \alpha=\dfrac{eV}{ml}$ である。電子は初速0 から加速度$ \alpha$ で等加速度運動するから、 $ v_2=\dfrac{0+\alpha T}{2}=\dfrac{eVT}{2ml}$ が求める答えである。

$ 9$
時間 $ t\ (0\leqq t<T)$ 後の電子の運動エネルギーは

$\displaystyle K(t)=\dfrac{1}{2}m{\alpha}^2t^2=\dfrac{1}{2}m{\left(\dfrac{eV}{ml}\right)}^2t^2
$

となる。よって、運動エネルギーの時間変化のグラフは次のようになる。

\includegraphics[width=100mm]{4.eps}

$ 10$
$ v_1=v_2$ より、 $ k=\dfrac{2m}{T}$ となる。

$ 11$
$ 7$ 、問$ 10$ の結果より、金属導線の抵抗率は衝突の時間間隔に反比例する。金属導線の温度が上がると金属原子の熱振動が激しくなり、衝突の時間間隔が短くなるために、抵抗率は大きくなる。

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