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東京医科歯科大学年2010度入試問題数学解答

90分、120点。


$ \fbox{1}$

$ (1)$
$ a=1,\ b=2$ とすると、


$\displaystyle a^3+b^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 9$  
$\displaystyle a^2b+b^2a$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 6$  

である(なので、 $ a^3+b^3>a^2b+b^2a$ と予想して、)。


$\displaystyle a^3+b^3-(a^2b+b^2a)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2(a-b)-b^2(b-a)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (a-b)(a^2-b^2)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle {(a-b)}^2(a+b)$  
  $\displaystyle >$ $\displaystyle {0}$  

である。よって、 $ a^3+b^3>a^2b+b^2a$ である。

$ (2)$
$ a=1,\ b=2,\ c=3$ として、


$\displaystyle (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 84$  
$\displaystyle (a+b+c)(ab+bc+ca)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 66$  
$\displaystyle 3(a^3+b^3+c^3)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 108$  
$\displaystyle 9abc$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 54$  

である。


$\displaystyle 3(a^3+b^3+c^3)-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 3(a^3+b^3+c^3)$  
    $\displaystyle -a^3-ab^2-ac^2-ba^2$  
    $\displaystyle -b^3-bc^2-ca^2-cb^2-c^3$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2(a-b)+a^2(a-c)$  
    $\displaystyle b^2(b-c)+b^2(b-a)$  
    $\displaystyle +c^2(c-a)+c^2(c-b)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (a-b)(a^2-b^2)+(b-c)(b^2-c^2)$  
    $\displaystyle +(c-a)(c^2-a^2)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle {(a-b)}^2(a+b)+{(b-c)}^2(b+c)$  
    $\displaystyle +{(c-a)}^2(c+a)$  
  $\displaystyle >$ $\displaystyle {0}$  

である。よって、 $ 3(a^3+b^3+c^3)>(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$ である。


$\displaystyle (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)(ab+bc+ca)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^3+ab^2+ac^2$  
    $\displaystyle ba^2+b^3+bc^2$  
    $\displaystyle +ca^2+cb^2+c^3$  
    $\displaystyle -a^2b-abc-ca^2$  
    $\displaystyle -ab^2-bc^2-abc$  
    $\displaystyle -abc-bc^2-c^2a$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle a^3+b^3+c^3-3abc$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (a+b+c)\times$  
    $\displaystyle (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$  
$\displaystyle a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{1}{2}\{{(a-b)}^2+{(b-c)}^2+{(c-a)}^2\}$  
  $\displaystyle >$ $\displaystyle {0}$  

である。よって、 $ (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)>(a+b+c)(ab+bc+ca)$ である。


$\displaystyle (a+b+c)(ab+bc+ca)-9abc$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2b+abc+ca^2$  
    $\displaystyle +ab^2+b^2c+abc$  
    $\displaystyle +abc+bc^2+c^2a-9abc$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2b+ca^2+ab^2$  
    $\displaystyle +ac^2+b^2c+c^2b-6abc$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle a(b^2-2bc+c^2)$  
    $\displaystyle +b(c^2-2ca+a^2)$  
    $\displaystyle +c(a^2-2ab+b^2)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle a{(b-c)}^2+b{(c-a)}^2+c{(a-b)}^2$  
  $\displaystyle >$ $\displaystyle {0}$  

である。よって、 $ (a+b+c)(ab+bc+ca)>9abc$ である。以上より、小さい順に、 $ 9abc,\ (a+b+c)(ab+bc+ca),\ (a+b+c)(a^2+b^2+c^2),\ 3(a^3+b^3+c^3)$ である。

$ (3)$
相加平均は相乗平均よりも大きいことから、$ x,\ y$ が正であることに注意して、


$\displaystyle \dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}$ $\displaystyle \geqq$ $\displaystyle 2\sqrt{\dfrac{y}{x}\cdot \dfrac{x}{y}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2$  

である。同様に、


$\displaystyle \dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}$ $\displaystyle \geqq$ $\displaystyle 2$  
$\displaystyle \dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}$ $\displaystyle \geqq$ $\displaystyle 2$  

である。したがって、

$\displaystyle \dfrac{y+z}{x}+\dfrac{z+x}{y}+\dfrac{x+y}{z}=\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\geqq 6
$

である。等号は$ x=y=z$ のときに成立する。また、上の式を、$ y,\ z$ を固定して$ x$ の関数と見ると、 $ x\to \infty$ のときに式の値は $ \to \infty$ となる。よって、 $ \dfrac{y+z}{x}+\dfrac{z+x}{y}+\dfrac{x+y}{z}\geqq 6$ が求める範囲である。

$ \fbox{2}$ (医学部)

$ (1)$
$ {\beta}_t(O),\ {\beta}_t(D),\ {\beta}_t(E),\ {\beta}_t(F)$ のどれも、$ Q$ の内部で共通部分をもたない。 $ Q\cap {\beta}_t(O)$ は、底面の面積が $ t\times t\times \dfrac{1}{2}$ で、高さが$ t$ の三角錐であるから、その体積は $ \dfrac{t^3}{6}$ となる。従って、求める体積は $ 1-\dfrac{t^3}{6}\times 4=1-\dfrac{2}{3}t^3$ である。

$ (2)$
$ Q\cap {\alpha}_1(O)$ は次図の赤い四面体であるから、 $ Q\cap {\alpha}_1(O)\cap{\beta}_1(A)\cap{\beta}_1(B)\cap {\beta}_1(C)$ は同じ図の青い正四面体になる。この青い正四面体の体積は、四面体$ OABC$ の体積の $ \dfrac{1}{4}$ である。四面体$ OABC$ の体積は $ 1\times 1\times \dfrac{1}{2}\times 1 \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$ であるから、求める体積は $ \dfrac{1}{24}$ である。

\includegraphics[width=70mm]{3.eps}

$ (3)$

$ (a)$
$ 0<t\leqq \dfrac{1}{2}$ のとき、$ (1)$ と同様に、 $ {\beta}_t(X)\ (X=O\sim G)$ のどの二つも共有部分を持たないから、求める体積は $ 1-8\times \dfrac{t^3}{6}=1-\dfrac{4}{3}t^3$ となる。
$ (b)$
$ \dfrac{1}{2}\leqq t\leqq 1$ のとき、 $ {\alpha}_t(O)$ $ {\alpha}_t(A)$ は共通部分を持つが、その共通部分の体積は下の図から、

\includegraphics[width=70mm]{4.eps}
\includegraphics[width=70mm]{5.eps}

$\displaystyle \dfrac{1}{3}\times \dfrac{2t-1}{\sqrt{2}}\times \dfrac{2t-1}{\sqr...
...\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2t-1}{2}=\dfrac{1}{3}{\left(t-\dfrac{1}{2}\right)}^3
$

となる。このような部分は辺の数だけあり、それは$ 12$ 個である。従って、求める体積を$ V$ とすると、


$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-\left\{\dfrac{t^3}{6}\times 8-12\times \dfrac{1}{3}{\left(t-\dfrac{1}{2}\right)}^3\right\}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-\dfrac{4}{3}t^3+4{\left(t-\dfrac{1}{2}\right)}^3$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{8}{3}t^3-6t^2+3t+\dfrac{1}{2}$  

となる。よって、 $ \dfrac{1}{2}\leqq t\leqq 1$ のとき、求める体積は $ \dfrac{8}{3}t^3-6t^2+3t+\dfrac{1}{2}$ である。

$ \fbox{2}$ (医学部以外)

医学部の解答を参照してください。答えのみ記載します。

$ (1)$
$ \dfrac{1}{6}t^3$

$ (2)$
$ \dfrac{1}{3}$

$ (3)$
$ \dfrac{1}{3}{\left(t-\dfrac{1}{2}\right)}^3$

$ (4)$
$ (a)$
$ 0<t\leqq \dfrac{1}{2}$ のとき、求める体積は $ \dfrac{1}{6}t^3$
$ (b)$
$ \dfrac{1}{2}\leqq t\leqq 1$ のとき、求める体積は $ \dfrac{1}{6}t^3-{\left(t-\dfrac{1}{2}\right)}^3$ である。微分して増減表を書くと、体積が最大になる$ t$ $ t=\dfrac{6+\sqrt{6}}{10}$ となる。

$ \fbox{3}$

$ (1)$
$ l$ の方程式は、$ sx+ty=1$ である。

$ (2)$
$ l$ の方程式を$ y$ について解くと、 $ y=\dfrac{1-sx}{t}$ である。これを$ E$ の方程式に代入すると、($ s^2+t^2=1$ に注意して)


$\displaystyle x^2+\dfrac{1}{2}\dfrac{{(1-sx)}^2}{t^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$  
$\displaystyle 2t^2x^2+s^2x^2-2sx+1-2t^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {0}$  
$\displaystyle (2t^2+s^2)x^2-2sx+1-2t^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {0}$  
$\displaystyle (t^2+1)x^2-2sx+1-2t^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {0}$  

である。この$ x$ についての二次方程式の判別式は、


$\displaystyle D^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle s^2-(t^2+1)(1-2t^2)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (1-t^2)-(t^2-2t^4+1-2t^2)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2t^4$  

で、正である。そこで、$ x$ についての二次方程式

$\displaystyle (t^2+1)x^2-2sx+1-2t^2 = {0}
$

$ 2$ つの解を $ \alpha,\ \beta$ とすると、$ L$ は点 $ (\alpha,\ \dfrac{1-s\alpha}{t}),\ (\beta,\ \dfrac{1-s\beta}{t})$ の間の距離であるから、


$\displaystyle L^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {(\beta-\alpha)}^2+{\left(\dfrac{1-s\beta}{t}-\dfrac{1-s\alpha}{t}\right)}^2$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle {(\beta-\alpha)}^2\left\{1+\dfrac{s^2}{t^2}\right\}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{1}{t^2}{(\beta-\alpha)}^2$  

となる。一方、解と係数の関係より、

\begin{displaymath}
\begin{cases}
\alpha+\beta=\dfrac{2s}{t^2+1} & \\
\alpha\beta=\dfrac{1-2t^2}{t^2+1} &
\end{cases}\end{displaymath}

である。従って、


$\displaystyle {(\beta-\alpha)}^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {(\alpha+\beta)}^2-4\alpha\beta$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{4s^2}{{(t^2+1)}^2}-\dfrac{4(1-2t^2)}{t^2+1}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\cdot \dfrac{1-t^2-(t^2+1)(1-2t^2)}{{(t^2+1)}^2}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{8t^4}{{(t^2+1)}^2}$  

となる。以上より、


$\displaystyle L^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{8t^2}{{(t^2+1)}^2}$  
$\displaystyle L$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sqrt{2}\cdot \dfrac{t}{t^2+1}$  

となる。よって、 $ L=\dfrac{2\sqrt{2}t}{t^2+1}$ が答えである。

$ (3)$
$ (2)$ と相加平均が相乗平均よりも大きいことより、


$\displaystyle L$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sqrt{2}\cdot \dfrac{1}{t+\frac{1}{t}}$  
  $\displaystyle \leqq$ $\displaystyle \dfrac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{t\cdot \frac{1}{t}}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{2}$  

である。等号は、 $ t=\dfrac{1}{t}$ 、つまり$ t=1$ のときに成立する。よって、$ L$ の最大値は$ \sqrt{2}$ である。

$ (4)$
$ t=1$ のとき、$ s=0$ であり、$ l$$ E$ の囲む領域のうち、原点を含まない領域は次の図のようになる。

\includegraphics[width=50mm]{1.eps}

この図を$ y$ 軸方向に $ \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 倍拡大すると、楕円$ E$ は円になり、囲まれる部分の面積も $ \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 倍される。ところが、この変換後の領域の面積は、図より簡単に求めることができて、それは半円の面積 $ \dfrac{\pi}{2}$ から、底辺が$ \sqrt{2}$ で高さ $ \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ の三角形の面積を除き、さらに角度 $ 45^{\circ}$ の扇形を$ 2$ つ除いたものであるから、

\includegraphics[width=50mm]{2.eps}

$\displaystyle \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}...
...imes \dfrac{\pi}{4}\cdot 1\cdot1\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{2}
$

である。$ A$ の値はこれを$ \sqrt{2}$ 倍したものだから、 $ A=\dfrac{\sqrt{2}(\pi-2)}{4}$ である。

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