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東京医科歯科大学2007年度入試問題数学解答

90分、120点。


$ \fbox{1}$

$ (1)$
底面は抜かして考える。図から、求める側面積は、 $ 2\pi r\times \sqrt{r^2+h^2}\times \dfrac{1}{2}=\pi r \sqrt{r^2+h^2}$ となる。

\includegraphics[width=60mm]{1.eps}
\includegraphics[width=60mm]{2.eps}

$ (2)$
$ A,\ B$ は直線 $ y=\sqrt{3}x$ 上にある。原点を$ O$ として、$ EB$$ y$ 軸のまわりに1回転してできる円を底面とし、点$ O$ を頂点とする直円錐の側面積は、$ (1)$ より

\includegraphics[width=50mm]{3.eps}

$\displaystyle \pi \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{\dfrac{3}{4}+\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}\pi
$

である。同様に、$ AF$$ y$ 軸のまわりに1回転してできる円を底面とし、点$ O$ を頂点とする直円錐の側面積は、

$\displaystyle \pi \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{\dfrac{3}{9}+1}=\dfrac{2}{3}\pi
$

である。

最後に、$ EB$$ y$ 軸のまわりに1回転してできる円の面積は、 $ {\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2\pi=\dfrac{3}{4}\pi$ であり、$ AF$$ y$ 軸のまわりに1回転してできる円の面積は、 $ {\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2\pi=\dfrac{1}{3}\pi$ である。。求める表面積は、 $ \dfrac{3}{2}\pi-\dfrac{2}{3}\pi+\dfrac{3}{4}\pi+\dfrac{1}{3}\pi=\dfrac{23}{12}\pi$ となる。

$ (3)$
$ Q$ の座標を $ (q,\ \sqrt{3-q^2})\ (0<q<\sqrt{2})$ とする。直線$ OQ$ $ y=\dfrac{\sqrt{3-q^2}}{q}x$ であるから、点$ P$ の座標は $ \left(\dfrac{q}{\sqrt{3-q^2}},\ 1\right)$ となる。$ (2)$ と同様に考え、


$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi q\sqrt{q^2+(3-q^2)}-\pi\dfrac{q}{\sqrt{3-q^2}}\sqrt{\dfrac{q^2}{3-q^2}+1}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{3}q\pi-\dfrac{\sqrt{3}q\pi}{3-q^2}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{2q-q^3}{3-q^2}\cdot \sqrt{3}\pi$  

となる。 $ f(q)=\dfrac{-q^3+2q}{3-q^2}\ (0<q<\sqrt{2})$ とすると、


$\displaystyle f^{\prime}(q)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{(-3q^2+2)(3-q^2)-(-q^3+2q)(-2q)}{{(3-q^2)}^2}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{-9q^2+3q^4+6-2q^2-2q^4+4q^2}{{(3-q^2)}^2}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{q^4-7q^2+6}{{(3-q^2)}^2}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{(q^2-6)(q^2-1)}{{(3-q^2)}^2}$  

である。従って、 $ 0<q<\sqrt{2}$ より、$ q=1$ のときに$ f(q)$ は最大で、 $ f(1)=\dfrac{1}{2}$ であるから、$ S$ の最大値は $ f(1)\cdot \sqrt{3}\pi=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\pi$ となる。

\includegraphics[width=60mm]{4.eps}


$ \fbox{2}$

$ (1)$
$ p_1$ は条件$ (a)$ より $ \dfrac{1}{3}$ であることはすぐに分かる。

$ (1,\ 0)$ に到達する確率は、 $ (0,\ 0)\rightarrow (1,\ 0)$ と進む場合と、 $ (0,\ 0)\rightarrow(0,\ 1)\rightarrow(1,\ 1)\rightarrow(1,\ 0)$ と進む場合、もしくは $ (0,\ 0)\rightarrow(0,\ -1)\rightarrow(1,\ -1)\rightarrow(1,\ 1)$ と進む場合がある。

$ (a)$
$ (0,\ 0)\rightarrow (1,\ 0)$ と進み、さらに$ (2,\ 0)$ に進む確率は、 $ \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}$ である。
$ (b)$
$ (0,\ 0)\rightarrow(0,\ 1)\rightarrow(1,\ 1)\rightarrow(1,\ 0)$ と進み、さらに$ (2,\ 0)$ に進む確率は、 $ \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{3}\times 1=\dfrac{1}{18}$ である。
$ (c)$
$ (0,\ 0)\rightarrow(0,\ -1)\rightarrow(1,\ -1)\rightarrow(1,\ 1)$ と進み、さらに$ (2,\ 0)$ に進む確率も、$ (b)$ と同じく、 $ \dfrac{1}{18}$ である。

従って、 $ p_2=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{18}=\dfrac{2}{9}$ である。

\includegraphics[width=40mm]{5.eps}

\includegraphics[width=50mm]{6.eps}

$ {p^{\prime}}_1$ は点$ (0,\ 1)$ から点$ (1,\ 1)$ に進む確率だから、条件$ (a),\ (c)$ より、 $ \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}$ である。

$ (1,\ 1)\rightarrow(2,\ 1)$ と進むには、 $ (0,\ 0)\rightarrow(0,\ 1)\rightarrow(1,\ 1)\rightarrow(2,\ 1)$ というルートと、 $ (0,\ 0)\rightarrow(1,\ 0)\rightarrow(1,\ 1)\rightarrow(2,\ 1)$ というルートがある。前者の確率は、 $ \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{18}$ で、後者の確率は $ \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{18}$ であるから、 $ {p^{\prime}}_2=\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{18}=\dfrac{1}{9}$ である。

$ (2)$
$ Q$ $ x=k\ (k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$ で停止する確率を$ q_k$ とする。

$ Q$$ x=0$ で停止する確率は、 $ (0,\ 0)\rightarrow(0,\ 1)\rightarrow(0,\ 2)$ と進む場合か、 $ (0,\ 0)\rightarrow(0,\ -1)\rightarrow(0,\ -2)$ と進む場合があり、どちらの確率も $ \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}$ である。従って、 $ q_0=\dfrac{1}{6}\times2=\dfrac{1}{3}$ である。

$ Q$$ x=1$ で停止する確率を求めよう。点$ Q$$ x=1$ において$ y=2$ に触れる確率は、 $ (0,\ 0)\rightarrow(0,\ 1)\rightarrow(1,\ 1)\rightarrow(1,\ 2)$ と進む場合か、 $ (0,\ 0)\rightarrow(1,\ 0)\rightarrow(1,\ 1)\rightarrow(1,\ 2)$ と進む場合があり、前者の確率は $ \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{18}$ で、後者の確率は $ \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{18}$ である。従って、点$ Q$$ x=1$$ y=2$ に触れる確率は $ \dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{18}=\dfrac{1}{9}$ である。対称性から、点$ Q$$ x=1$$ y=-2$ に触れる確率も $ \dfrac{1}{9}$ となるので、 $ q_1=2\times \dfrac{1}{9}=\dfrac{2}{9}$ となる。

以上より、点$ Q$$ x=2$ 上の点に達する確率は、 $ 1-q_0-q_1=1-\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{9}=\dfrac{4}{9}$ となる。

次に、点$ Q$$ x=2$ で停止する確率を求める。点$ Q$$ x=2$$ y=2$ に触れるのは、 $ \cdots \rightarrow(1,\ 1) \rightarrow(2,\ 1)\rightarrow(2,\ 2)$ と進む場合と、 $ \cdots \rightarrow(1,\ 0)\rightarrow(2,\ 0)\rightarrow(2,\ 1)\rightarrow(2,\ 2)$ と進む場合がある。

$ (a)$
$ \cdots \rightarrow(1,\ 1) \rightarrow(2,\ 1)\rightarrow(2,\ 2)$ と進む場合、確率は、 $ {p^{\prime}}_2\times \dfrac{1}{3}$ となる。
$ (b)$
$ \cdots \rightarrow(1,\ 0)\rightarrow(2,\ 0)\rightarrow(2,\ 1)\rightarrow(2,\ 2)$ と進む場合、確率は、 $ p_2\times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}$ となる。

従って、点$ Q$$ x=2$$ y=2$ に触れる確率は、 $ \dfrac{{p^{\prime}}_2}{3}+\dfrac{p_2}{6}$ となる。

対称性から、点$ Q$$ x=2$$ y=-2$ に触れる確率も、 $ \dfrac{{p^{\prime}}_2}{3}+\dfrac{p_2}{6}$ となるので、 $ q_2=2\times \left(\dfrac{{p^{\prime}}_2}{3}+\dfrac{p_2}{6}\right)=\dfrac{4}{27}$ となる。

以上より、点$ Q$$ x=3$ 上の点に達する確率は、 $ 1-q_0-q_1-q_2=1-\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{9}-\dfrac{4}{27}=\dfrac{8}{27}$ となる。

$ (3)$
$ Q$$ (n+1,\ 0)$ に到達するのは、 $ \cdots \rightarrow(n-1,\ 0)\rightarrow(n,\ 0)\rightarrow(n+1,\ 0)$ と進む場合と、 $ \cdots\rightarrow(n,\ 1)\rightarrow(n,\ 0)\rightarrow(n+1,\ 0)$ と進む場合、または、 $ \cdots\rightarrow(n,\ -1)\rightarrow(n,\ 0)\rightarrow(n+1,\ 0)$ と進む場合がある。最初の確率は、 $ \dfrac{p_n}{3}$ であり、後二つの確率は、 $ \dfrac{{p^{\prime}}_n}{3}$ であるから、 $ p_{n+1}=\dfrac{p_n}{3}+\dfrac{2}{3}{p^{\prime}}_n$ である。

$ Q$$ (n+1,\ 1)$ に到達するのは、 $ \cdots \rightarrow(n-1,\ 1)\rightarrow(n,\ 1)\rightarrow(n+1,\ 1)$ と進む場合と、 $ \cdots\rightarrow(n,\ 0)\rightarrow(n,\ 1)\rightarrow(n+1,\ 1)$ と進む場合がある。最初の確率は、 $ \dfrac{{p^{\prime}}_n}{3}$ であり、後の確率は、 $ \dfrac{p_n}{3}\times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{p_n}{6}$ であるから、 $ {p^{\prime}}_{n+1}=\dfrac{{p^{\prime}}_n}{3}+\dfrac{p_n}{6}$ である。

まとめると、

$ \begin{cases}
p_{n+1}=\dfrac{p_n}{3}+\dfrac{2}{3}{p^{\prime}}_n & \\
{p^{\prime}}_{n+1}=\dfrac{{p^{\prime}}_n}{3}+\dfrac{p_n}{6} &
\end{cases}$

である。これをよく見ると、 $ {p^{\prime}}_{n+1}=\dfrac{p_{n+1}}{2}$ がわかる。つまり、 $ {p^{\prime}}_{n}=\dfrac{p_{n}}{2}$ である($ n=1$ でも成立)。上の式に代入して、 $ p_{n+1}=\dfrac{2}{3}p_n$ である。 $ p_1=\dfrac{1}{3}$ であったから、 $ p_n=\dfrac{1}{3}{\left(\dfrac{2}{3}\right)}^{n-1}$ となる。したがって、 $ {p^{\prime}}_n=\dfrac{1}{6}{\left(\dfrac{2}{3}\right)}^{n-1}$ となる。

さて、点$ (m,\ 0)$ に到達するには、 $ (m-1,\ 0)\rightarrow(m,\ 0)$ と進む場合(確率は$ p_m$ )と、 $ (m,\ 1)\rightarrow(m,\ 0)$ と進む場合(確率は $ {p^{\prime}}_m\times \dfrac{1}{3}$ )、および $ (m,\ -1)\rightarrow(m,\ 0)$ と進む場合(確率は同じく $ {p^{\prime}}_m\times \dfrac{1}{3}$ )の3通りがある。

以上より、求める確率は $ p_m+\dfrac{{p^{\prime}}_m}{3}\times 2={\left(\dfrac{2}{3}\right)}^{m+1}$ である。


$ \fbox{3}$

$ (1)$
$ NA=BM^{-1}$ の左側から$ M$ を掛けて、$ NAM=B$ である。$ NAM$ を計算すると、


$\displaystyle NAM$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}a & c \\ b & d\end{array}\right)\left(\beg...
...0 & 17\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}6a+10c & 10a+17c \\ 6b+10d & 10b+17d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}6a^2+20ac+17c^2 & 6ab+10bc+10ad+17cd \\ 6ab+10ad+10bc+17cd & 6b^2+20bd+17d^2\end{array}\right)$  

となる。これが、 $ B=\left(\begin{array}{cc}1 & {0} \\ {0} & 2\end{array}\right)$ に等しいので、左上成分を比較して、 $ 6a^2+20ac+17c^2=1$ となる。

$ (2)$
$ (1)$ で出した $ 6a^2+20ac+17c^2-1=0$$ a$ についての2次方程式と考えると、この判別式が正であることより、


$\displaystyle {(10c)}^2-6\cdot (17c^2-1)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -2c^2+6$  
  $\displaystyle >$ $\displaystyle {0}$  

である。これより、$ c^2<3$ であり、$ c$ は整数であるから、 $ c=-1,\ 0,\ 1$ しかあり得ない。$ c=0$ のときは、$ (1)$ より$ 6a^2=1$ となって、$ a$ が整数ではなくなってしまう。

$ (i)$
$ c=-1$ のとき、$ (1)$ より $ 6a^2-20a+16=0$ である。変形して、 $ (6a-8)(a-2)=0$ であるが、$ a>0$ より$ a=2$ となる。
$ (ii)$
$ c=1$ のとき、$ (1)$ より $ 6a^2+20a+16=0$ である。変形して、 $ (6a+8)(a+2)=0$ であるが、$ a>0$ よりこれを満たす$ a$ は存在しない。

以上より、 $ a=2,\ c=-1$ がわかった。初めに与えられた条件$ ad-bc=1$ にこれを代入すると、$ 2d+b=1$ である。一方、$ (1)$ の過程から、$ NAM$$ B$ の右上成分を比較し、 $ 6ab+10bc+10ad+17cd=0$ であるから、 $ a=2,\ c=-1$ を代入すると、 $ 12b-10b+20d-17d=0$ となる。つまり、$ 2b+3d=0$ である。これより、

\begin{displaymath}
\begin{cases}
b+2d=1 & \\
2b+3d=0 &
\end{cases}\end{displaymath}

となるから、 $ b=-3,\ d=2$ がわかる。

以上より、 $ 2a^2+b^2=17$ となる。

$ (3)$
$ (2)$ より、 $ a=2,\ b=-3,\ c=-1,\ d=2$ となる。

$ (4)$
$ (3)$ より

\begin{displaymath}
\begin{cases}
X=2x+3y & \\
Y=x+2y &
\end{cases}\end{displaymath}

であるから、


$\displaystyle X^2+2Y^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {(2x+3y)}^2+2{(x+2y)}^2$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (4x^2+12xy+9y^2)+2(x^2+4xy+4y^2)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 6x^2+20xy+17y^2$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 59$  

となる。よって、 $ X^2+2Y^2=59$ である。

$ (5)$
$ 6x^2+20xy+17y^2=59$ を満たす整数$ x,\ y$ に対して、

\begin{displaymath}
\begin{cases}
X=2x+3y & \\
Y=x+2y &
\end{cases}\end{displaymath}

とおくと、$ X,\ Y$ もまた整数であり、$ (4)$ より $ X^2+2Y^2=59$ である。今、 $ X^2=59-2Y^2>0$ であるから、 $ Y^2<\dfrac{59}{2}=29.5$ である。従って、 $ \vert Y\vert=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$ しかあり得ない。このうち、 $ \vert X\vert=\sqrt{59-2Y^2}$ が整数になるのは、$ \vert Y\vert=5$ のときで、そのとき$ \vert X\vert=3$ となる。結局、 $ (X,\ Y)=(3,\ 5),\ (3,\ -5),\ (-3,\ 5),\ (-3,\ -5)$ のいずれかである。今、

\begin{displaymath}
\begin{cases}
X=2x+3y & \\
Y=x+2y &
\end{cases}\end{displaymath}

より、

\begin{displaymath}
\begin{cases}
x=2X-3Y & \\
y=-X+2Y &
\end{cases}\end{displaymath}

であるから、 $ (X,\ Y)=(3,\ 5),\ (3,\ -5),\ (-3,\ 5),\ (-3,\ -5)$ のとき順に $ (x,\ y)=(-9,\ 7),\ (21,\ -13),\ (-21,\ 13),\ (9,\ -7)$ となり、これが答えである。

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