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東京医科歯科大学2006年度入試問題数学解答

90分、120点。


$ \fbox{1}$

$ (1)$
条件 $ (a)\ (b)\ (c)$ は書き直すと、

$\displaystyle 1\leqq a_1\leqq a_2\leqq a_3\leqq a_4\leqq a_5\leqq 4
$

である。これをさらに同値変形すると、

$\displaystyle 1\leqq a_1<a_2+1<a_3+2<a_4+3<a_5+4\leqq 8
$

となる。この条件を満たす整数の組 $ a_1\sim a_5$ を定めるには、$ 1$ から$ 8$ までの整数の中から$ 5$ 個を選び、小さい方から順に $ a_1, a_2+1, a_3+2, a_4+3, a_5+4$ と定めればよい。

そうすると、整数の組 $ a_1\sim a_5$ が一意に定まる。そのような数の求め方は、 $ _8C_{5}=56$である。

$ (2)$
$ a_1=b_1, a_1+a_2=b_2, a_1+a_2+a_3=b_3, a_1+a_2+a_3+a_4=b_4, a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=b_5$ とする。すると、条件 $ (a)\ (b)\ (c)$ は次のように書き直される。

$ (a)^{\prime}$
$ b_1\geqq1$
$ (b)^{\prime}$
$ b_5\leqq 4$
$ (c)^{\prime}$
$ b_i\leqq b_{i+1} (i=1, 2, 3, 4)$

上の条件を満たす整数の組 $ b_1\sim b_2$ の個数は、$ (1)$ から$ 56$ 通りである。

ところで、 $ b_1\sim b_5$ の組を定めると、 $ a_1=b_1, a_i=b_i-b_{i-1} (i=2, 3, 4, 5)$ より、 $ a_1\sim b_5$ の組も一意に定まる。以上から、求める答えは(1)と同じ$ 56$である。

$ (3)$
$ n\geqq 2$ として、$ n$ 桁の自然数を、

$\displaystyle 10^{n-1}a_1+10^{n-2}a_2+\cdots+10a_{n-1}+a_n
$

とおく。すると、題意の条件は、

$ (a)$
$ a_1\geqq 1$
$ (b)$
$ a_i\geqq 0 (i=2, 3, \cdots, n)$
$ (c)$
$ a_1+a_2+\cdots+a_n\leqq r$

である。このような整数の組 $ a_1\sim a_n$ を求めるには、$ (1),\ (2)$ と同じように考えればいい。すなわち、 $ \displaystyle \sum_{k=1}^{i}{a_k}=b_i (i=1, 2, \cdots, n)$ とおけば、上の条件は

$ (a)^{\prime}$
$ b_1\geqq1$
$ (b)^{\prime}$
$ b_n\leqq r$
$ (c)^{\prime}$
$ b_i\leqq b_{i+1} (i=1, 2, \cdots, n-1)$

である。つまり、

$\displaystyle 1\leqq b_1\leqq b_2\leqq \cdots \leqq b_n\leqq r
$

であるが、同値変形して、

$\displaystyle 1\leqq b_1<b_2+1<\cdots <b_{n-1}+n-2<b_n+n-1\leqq r+n-1
$

である。この条件を満たす整数の組 $ b_1\sim b_n$ を定めるには、$ 1$ から$ n+r-1$ までの整数の中から$ n$ 個を選び、小さい方から順に $ b_1, b_2+1, b_3+2,\cdots, b_n+n-1$ と定めればよい。

そうすると、整数の組 $ b_1\sim b_n$ が一意に定まる。そのような数の求め方は、 $ _{n+r-1}C_{n}$ 通りである。

$ b_1\sim b_n$ の組を定めれば、 $ a_1=b_1, a_i=b_i-b_{i-1} (i=2, 3, \cdots, n)$ より $ a_1\sim a_n$ の組も一意に定まる。

$ _{n+r-1}C_n$$ n=1$ とすると、$ _rC_1=r$ となるが、$ 1$ 桁の整数で題意の条件を満たすものは、 $ 1, 2, \cdots, r$$ r$ 通りなので、$ n=1$ のときにも $ _{n+r-1}C_n$ が使える。よって、求める答えは $ _{n+r-1}C_{n}$である。


$ \fbox{2}$

$ (1)$
$ \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$ は互いに垂直であるから、 $ \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA}=0$ である。また、点$ H$ は点$ O$ から平面$ ABC$ に対する垂点であるから、 $ \overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{CA}=0$ である。以上より、


$\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CH}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OC})$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OC}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 0-(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\cdot\overrightarrow{OC}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle {0}$  


$\displaystyle \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AH}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{BC}\cdot (\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OA})$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{OA}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 0-(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})\cdot\overrightarrow{OA}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle {0}$  

である。以上により、題意は示された。

$ (2)$
$ D$ は辺$ BC$ 上にあるので、 $ \overrightarrow{CD}=k\overrightarrow{CB} (0<k<1)$ とおく。点$ H$ は辺$ AD$$ 2:1$ に内分しているので、

\includegraphics[width=80mm]{1.eps}


$\displaystyle \overrightarrow{CH}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{CA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{CA}+\dfrac{2}{3}(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA})$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{CA}+\dfrac{2}{3}(k\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA})$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{2}{3}k\overrightarrow{CB}$  

である。今、 $ \overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=l$ とおく。(1)より、 $ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CH}=0, \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AH}=0$ であるから、 $ \vert\overrightarrow{CA}\vert=2, \vert\overrightarrow{CB}\vert=3$ に注意して、


$\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CH}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {0}$  
$\displaystyle (\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA})\cdot \left(\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{2}{3}k\overrightarrow{CB}\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {0}$  
$\displaystyle \dfrac{1}{3}l+6k-\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{3}kl$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {0}$  


$\displaystyle \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AH}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {0}$  
$\displaystyle -\overrightarrow{CB}\cdot \left(\overrightarrow{CH}-\overrightarrow{CA}\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {0}$  
$\displaystyle -\overrightarrow{CB}\cdot \left(-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{2}{3}k\overrightarrow{CB}\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {0}$  
$\displaystyle \dfrac{2}{3}l-6k$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {0}$  

となる。後ろの式から$ l=9k$ である。前の式に代入して、


$\displaystyle 3k+6k-\dfrac{4}{3}-6k^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {0}$  
$\displaystyle 6k^2-9k+\dfrac{4}{3}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {0}$  
$\displaystyle 18k^2-27k+4$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {0}$  
$\displaystyle (6k-1)(3k-4)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {0}$  

である。$ 0<k<1$ であるから、 $ k=\dfrac{1}{6}$ となる。

これより、 $ \overrightarrow{CH}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{9}\overrightarrow{CB}$ となる。

$ (3)$
(2)より、 $ l=9k=\dfrac{3}{2}$ である。 $ l=\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}$ であったから、


$\displaystyle \cos{\angle{ACB}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}}{\vert\overrightarrow{CA}\vert\vert\overrightarrow{CB}\vert}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{2\cdot 3}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{1}{4}$  

となる。これより、


$\displaystyle AB^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle CA^2+CB^2-2CA\cdot CB\cdot \cos{ACB}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 4+9-2\cdot 2\cdot 3\cdot \dfrac{1}{4}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 10$  

となる。よって、 $ AB=\sqrt{10}$ である。

$ (4)$
$ OA=a, OB=b, OC=c$ とすると、図より

\includegraphics[width=70mm]{2.eps}

$ \begin{cases}
a^2+b^2=AB^2=10 & \\
b^2+c^2=BC^2=9 & \\
c^2+a^2=CA^2=4
\end{cases}$

である。辺ごとにすべて足して、$ 2$ で割ると、 $ a^2+b^2+c^2=\dfrac{23}{2}$ であることがわかる。したがって、

$ \begin{cases}
a^2=(a^2+b^2+c^2)-(b^2+c^2)=\dfrac{23}{2}-9=\dfrac{5}{2} & \ \\...
... & \ \\
c^2=(a^2+b^2+c^2)-(a^2+b^2)=\dfrac{23}{2}-10=\dfrac{3}{2}
\end{cases}$

であることがわかる。よって、 $ a=\sqrt{\dfrac{5}{2}}, b=\sqrt{\dfrac{15}{2}}, c=\sqrt{\dfrac{3}{2}}$ である。四面体$ OABC$ の体積は、三角形$ OAB$ の面積$ \times$$ OC$ と計算すると、 $ \dfrac{abc}{6}=\dfrac{5\sqrt{2}}{8}$ である。


$ \fbox{3}$

$ (1)$


$\displaystyle g^{\prime}(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$  

となる。よって、 $ g^{\prime}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ である。

$ (2)$
$ (1)$ より $ \phi(x)=\log{(x+\sqrt{x^2+1})}+C$ とおける。ただし$ C$ は積分定数である。$ \phi(0)=0$ であるから、$ C=0$ がわかる。

よって、 $ \phi(x)=\log{(x+\sqrt{x^2+1})}$ である。これをを$ y$ とおくと、


$\displaystyle y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log{(x+\sqrt{x^2+1})}$  
$\displaystyle e^y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x+\sqrt{x^2+1}$  
$\displaystyle e^y-x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{x^2+1}$  

となる。両辺を二乗して、


$\displaystyle e^{2y}-2xe^y+x^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x^2+1$  
$\displaystyle 2e^{y}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{2y}-1$  
$\displaystyle x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{e^y-e^{-y}}{2}$  

となる。よって、$ \phi(x)$ の逆関数$ h(x)$ は、 $ h(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$ となる。

$ (3)$
$ t> 0$ のとき、曲線の長さの公式から、

$\displaystyle l(t) = \int_{0}^{t}{\sqrt{1+{\{f^{\prime}(x)\}}^2}dx}
$

であるから、条件$ (d)$ より、

$\displaystyle f^{\prime}(t)=\int_{0}^{t}{\sqrt{1+{\{f^{\prime}(x)\}}^2}dx}  (t> 0)
$

である。条件$ (b)$ よりこれは$ t=0$ においても成り立つ。この式の両辺を$ t$ で微分して、

$\displaystyle f^{\prime\prime}(t)=\sqrt{1+{\{f^{\prime}(t)\}}^2} (t\geqq 0)
$

がわかる。条件$ (c)$ より $ f(x)=f(-x)$ がどんな実数$ x$ にも成り立つので、微分を繰り返して、 $ f^{\prime}(x)=-f^{\prime}(x), f^{\prime\prime}(x)=f^{\prime\prime}(-x)$ である。つまり、$ t\geqq 0$ に対して

$\displaystyle f^{\prime\prime}(t)=\sqrt{1+{\{f^{\prime}(t)\}}^2}\
$

であれば、$ t\leqq 0$ に対してもこれが成り立つ。以下、$ t$ は正とは限らない任意の実数とする。

さて、 $ F(x)=\log{(f^{\prime}(x)+\sqrt{1+{\{f^{\prime}(x)\}}^2})}$ とおくと、$ (1)$ と同様に、


$\displaystyle F^{\prime}(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{f^{\prime\prime}(x)+\dfrac{f^{\prime}(x)f^{\prime\prime}(x)}{\sqrt{1+{\{f^{\prime}(x)\}}^2}}}{f^{\prime}(x)+\sqrt{1+{\{f^{\prime}(x)\}}^2}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{f^{\prime\prime}(x)}{\sqrt{1+{\{f^{\prime}(x)\}}^2}}$  

となるが、上で述べた

$\displaystyle f^{\prime\prime}(t)=\sqrt{1+{\{f^{\prime}(t)\}}^2} (-\infty<t<\infty)
$

より、これは

$\displaystyle F^{\prime}(x)=1
$

となる。したがって、$ F(x)=x+C$ となるが($ C$ は積分定数)、条件$ (b)$ より $ f^{\prime}(0)=0$ であるから、$ F(0)=0$ なので、$ C=0$ で、すなわち$ F(x)=x$ である。

以上より、

$\displaystyle x = \log{(f^{\prime}(x)+\sqrt{1+{\{f^{\prime}(x)\}}^2})}
$

となる。これは、$ (2)$ の結果から、

$\displaystyle f^{\prime}(x) = \dfrac{e^x-e^{-x}}{2}
$

と直せる。この式を積分すると、 $ f(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}+C$ である($ C$ は積分定数)。条件$ (a)$ より$ f(0)=1$ であるから、$ C=0$ がわかる。以上より、 $ f(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$ である。

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