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東京医科歯科大学2004年度入試問題数学解答

90分、120点。


$ \fbox{1}$

$ (1)$
条件$ (B)$ より $ f_1(2\cos{\theta})\sin{\theta}=\sin{2\theta}=2\sin{\theta}\cos{\theta}$ である。任意の実数$ \theta$ に対してこれが成り立つので、 $ f_1(2\cos{\theta})=2\cos{\theta}$ である。よって、$ f_1(x)=x$ である。

同様に、条件$ (B)$ より $ f_2(2\cos{\theta})\sin{\theta}=\sin{3\theta}=\sin{\theta}(4\cos^2{\theta}-1)$ である。任意の実数$ \theta$ に対してこれが成り立つので、 $ f_2(2\cos{\theta})={\{2\cos{\theta}\}}^2-1$ である。よって、 $ f_2(x)=x^2-1$ である。

$ (2)$


$\displaystyle \dfrac{\sin{k\theta}}{\sin{\theta}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{\sin{k\theta}}{k\theta}\cdot \dfrac{\theta}{\sin{\theta}}\cdot k$  
  $\displaystyle \to$ $\displaystyle 1\cdot 1\cdot k\ (\theta\to0)$  

であるから、求める答えは$ k$ である。

$ (3)$
$ \theta\ne 0$ のとき $ \sin{\theta}\ne 0$ で、条件$ (B)$ より

$\displaystyle f_n(2\cos{\theta})=\dfrac{\sin{(n+1)\theta}}{\sin{\theta}}
$

であるが、ここで $ \theta\to0$ とすると、$ (2)$ を用いて、右辺$ \to n+1$ であることがわかる。左辺は$ f_n(2)$ となるから、 $ f_n(2)=n+1$ である。

$ (4)$
条件$ (A)$ より$ f_n(x)$$ n$ 次式である。

$\displaystyle f_n(x)=(x^2-3x+2)g_n(x)+ax-25
$

とおく。この式で$ x=2$ として、$ (3)$ から $ f_n(2)=2a-25=n+1$ である。また、$ x=1$ として、 $ f_n(1)=a-25$ である。

さらに、条件$ (B)$ $ \theta=\dfrac{\pi}{3}$ として、 $ f_n(1)\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sin{\dfrac{n+1}{3}\pi}$ となる。つまり、 $ f_1(1)=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\sin{\dfrac{n+1}{3}\pi}$ となる。まとめると、

\begin{displaymath}
\begin{cases}
2a-25=n+1 & \\
a-25=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\sin{\dfrac{n+1}{3}\pi} &
\end{cases}\end{displaymath}

である。

今、 $ n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$ のとき、

$\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{3}}\sin{\dfrac{n+1}{3}\pi}=1,\ 0,\ -1,\ -1,\ 0,\ 1,\ \cdots
$

と、周期的である(周期$ 6$ )。詳しく書くと、下の表のようになる。

$ n$$ 6$ で割った余り $ \dfrac{2}{\sqrt{3}}\sin{\dfrac{n+1}{3}\pi}$
$ 1$ $ 1$
$ 2$ $ {0}$
$ 3$ $ -1$
$ 4$ $ -1$
$ 5$ $ {0}$
$ {0}$ 1

$ \dfrac{2}{\sqrt{3}}\sin{\dfrac{n+1}{3}\pi}=b$ と置くと、

\begin{displaymath}
\begin{cases}
2a-25=n+1 & \\
a-25=b &
\end{cases}\end{displaymath}

から$ a$ を消去して、$ n=24+2b$ となる。すると、次の表が完成する。

$ n$$ 6$ で割った余り $ \dfrac{2}{\sqrt{3}}\sin{\dfrac{n+1}{3}\pi}$ $ n$
$ 1$ $ 1$ $ 26$
$ 2$ $ {0}$ $ 24$
$ 3$ $ -1$ $ 22$
$ 4$ $ -1$ $ 22$
$ 5$ $ {0}$ $ 24$
$ {0}$ 1 $ 26$

この表で、$ n$$ 6$ で割った余りと、$ n$ の値が正しく一致しているのは、$ n=22$$ n$$ 6$ で割った余りが$ 4$ であるとき)だけである。以上より、$ n=22$ となり、このとき$ 2a-25=n+1$ より$ a=24$ である。


$ \fbox{2}$

$ (1)$
$ \vert m-k\vert>2$ のとき、


$\displaystyle f_k(m)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle g(m-k)+k$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (m-k)+k$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle m$  

となるから、集合$ S_k$ の条件$ m\ne n$ より、 $ \vert m-k\vert\leqq 2$ しかあり得ない。$ m,\ k$ は整数であるから、 $ m-k=-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2$ のいずれかであるが、下の表より、

$ m-k$ $ g(m-k)$ $ f_k(m)$ $ m$
$ -2$ $ -2$ $ -2+k$ $ -2+k$
$ -1$ $ 1$ $ 1+k$ $ -1+k$
$ {0}$ $ {0}$ $ k$ $ k$
$ 1$ $ -1$ $ -1+k$ $ 1+k$
$ 2$ $ 2$ $ 2+k$ $ 2+k$

条件$ m\ne n$ を満たすのは、 $ (m,\ n)=(k-1,\ k+1),\ (k+1,\ k-1)$ であることがわかる。以上より、題意が示される。

$ (2)$
$ (1)$ から$ f_k(m)$$ k-1$$ k+1$ を入れ替えることがわかる。したがって、$ f_3(m)$$ 2$$ 4$ を、$ f_4(m)$$ 3$$ 5$ と入れ替える。より厳密にいうと、$ f_k(m)$ は、 $ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_{k-1},\ a_k,\ a_{k+1},\ \cdots$ という整数の並びがあったときに、これを $ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_{k+1},\ a_k,\ a_{k-11},\ \cdots$ という並びに変換する。


  $\displaystyle 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ \dots$    
  $\displaystyle \downarrow(f_3$による変換$\displaystyle )$    
  $\displaystyle 1,\ \textcircled{4},\ 3,\ \textcircled{2},\ 5,\ 6,\ \cdots$    
  $\displaystyle \downarrow(f_4$による変換$\displaystyle )$    
  $\displaystyle 1,\ 4,\ \textcircled{5},\ 2,\ \textcircled{3},\ 6,\ \cdots$    

よって、 $ T_{3,\ 4}=(2,\ 4),\ (3,\ 5),\ (4,\ 2),\ (5,\ 3)$ である。

$ (3)$
まず、 $ S_3\cup S_k=\{(2,\ 4),\ (4,\ 2),\ (k-1,\ k+1),\ (k+1,\ k-1)\}$ である。


  $\displaystyle 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ \dots$    
  $\displaystyle \downarrow(f_3$による変換$\displaystyle )$    
  $\displaystyle 1,\ \textcircled{4},\ 3,\ \textcircled{2},\ 5,\ 6,\ \cdots$    

によって、$ 2$$ 4$ が入れ替えられている。したがって、$ k-1=2$ か、$ k-1=4$ か、$ k+1=2$ か、$ k+1=4$ のときに限り、 $ T_{3,\ k}\ne S_3\cup S_k$ となることがすぐに分かる。よって、 $ k=1,\ 3,\ 5$ である。

$ (4)$
これも、$ (3)$ から、 $ k=1,\ 3,\ 5$ の可能性しかあり得ない。

$ (i)$
$ k=1$ のとき、


  $\displaystyle 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ \dots$    
  $\displaystyle \downarrow(f_3$による変換$\displaystyle )$    
  $\displaystyle 0,\ 1,\ \textcircled{4},\ 3,\ \textcircled{2},\ 5,\ 6,\ \cdots$    
  $\displaystyle \downarrow(f_1$による変換$\displaystyle )$    
  $\displaystyle \textcircled{4},\ 1,\ \textcircled{0},\ 3,\ 2,\ 5,\ 6,\ \cdots$    

および、


  $\displaystyle 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ \dots$    
  $\displaystyle \downarrow(f_1$による変換$\displaystyle )$    
  $\displaystyle \textcircled{2},\ 1,\ \textcircled{0},\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ \cdots$    
  $\displaystyle \downarrow(f_3$による変換$\displaystyle )$    
  $\displaystyle 2,\ 1,\ \textcircled{4},\ 3,\ \textcircled{0},\ 5,\ 6,\ \cdots$    

であるから、 $ T_{3,\ 1}\ne T_{1,\ 3}$ である。

$ (ii)$
$ k=3$ のとき、


  $\displaystyle 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ \dots$    
  $\displaystyle \downarrow(f_3$による変換$\displaystyle )$    
  $\displaystyle 0,\ 1,\ \textcircled{4},\ 3,\ \textcircled{2},\ 5,\ 6,\ \cdots$    
  $\displaystyle \downarrow(f_3$による変換$\displaystyle )$    
  $\displaystyle 0,\ 1,\ \textcircled{2},\ 3,\ \textcircled{4},\ 5,\ 6,\ \cdots$    

および、


  $\displaystyle 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ \dots$    
  $\displaystyle \downarrow(f_3$による変換$\displaystyle )$    
  $\displaystyle 0,\ 1,\ \textcircled{4},\ 3,\ \textcircled{2},\ 5,\ 6,\ \cdots$    
  $\displaystyle \downarrow(f_3$による変換$\displaystyle )$    
  $\displaystyle 0,\ 1,\ \textcircled{2},\ 3,\ \textcircled{4},\ 5,\ 6,\ \cdots$    

であるから、 $ T_{3,\ 3}= T_{3,\ 3}$ である。

$ (iii)$
$ k=5$ のとき、


  $\displaystyle 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ \dots$    
  $\displaystyle \downarrow(f_3$による変換$\displaystyle )$    
  $\displaystyle 0,\ 1,\ \textcircled{4},\ 3,\ \textcircled{2},\ 5,\ 6,\ \cdots$    
  $\displaystyle \downarrow(f_5$による変換$\displaystyle )$    
  $\displaystyle 0,\ 1,\ 4,\ 3,\ \textcircled{6},\ 5,\ \textcircled{2},\ \cdots$    

および、


  $\displaystyle 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ \dots$    
  $\displaystyle \downarrow(f_5$による変換$\displaystyle )$    
  $\displaystyle 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \textcircled{6},\ 5,\ \textcircled{4},\ \cdots$    
  $\displaystyle \downarrow(f_3$による変換$\displaystyle )$    
  $\displaystyle 0,\ 1,\ \textcircled{6},\ 3,\ \textcircled{2},\ 5,\ 4,\ \cdots$    

であるから、 $ T_{3,\ 5}\ne T_{5,\ 3}$ である。

以上より、求める答えは$ k=1,\ 5$ である。


$ \fbox{3}$

$ (1)$
$ A^{\prime}(1,\ 2a)$ を考えると、 $ AP+BP=A^{\prime}P+BP$ である。すると、$ P\ne M$ のとき、三角不等式を三角形 $ A^{\prime}BM$ に適用して、 $ A^{\prime}P+BP>A^{\prime}B\ (=A^{\prime}M+BM)$ であるから、$ P=M$ のとき $ A^{\prime}P+BP$ は最小となる。したがって、 $ AP+BP\geqq AM+BM$ である。

\includegraphics[width=50mm]{1.eps}

$ (2)$
$ P(0,\ y)$ と置いたとき、

$ (a)$
$ y<a$ のとき、


$\displaystyle AP+BP+MP$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+y^2}+a-y$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sqrt{y^2+1}-y+a$  

である。これを $ f(y)\ (y<a)$ とする。


$\displaystyle f^{\prime}(y)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{2y}{\sqrt{y^2+1}}-1$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{2y-\sqrt{y^2+1}}{\sqrt{y^2+1}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{4y^2-(y^2+1)}{\sqrt{y^2+1}(2y+\sqrt{y^2+1})}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{3y^2-1}{\sqrt{y^2+1}(2y+\sqrt{y^2+1})}$  

したがって、$ f(y)$

\begin{displaymath}
\begin{cases}
y=\dfrac{1}{\sqrt{3}} &(a\geqq \dfrac{1}{\sqr...
...
y=a &\ \left(0<a\leqq \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)
\end{cases}\end{displaymath}

のときに最小値をとる。このとき、

\begin{displaymath}
\begin{cases}
f\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=\sqrt{3}+a ...
...a)=2\sqrt{a^2+1} &\ (0<a\leqq \dfrac{1}{\sqrt{3}})
\end{cases}\end{displaymath}

である。

$ (b)$
$ y>a$ のとき、


$\displaystyle AP+BP+MP$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+y^2}+y-a$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sqrt{y^2+1}+y-a$  

である。これは$ (a)$ の場合よりも明らかに大きい。

以上より、求める$ AP+BP+MP$ の最小値は、 $ 0<a\leqq \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ の場合、 $ 2\sqrt{a^2+1}$ $ a\geqq \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ の場合、 $ \sqrt{3}+a$ である。

$ (3)$
$ (1)$ から、$ P,\ Q$$ y$ 座標を固定したときは、$ P,\ Q$$ x$ 座標が0 のとき $ AP+BP+PQ+CQ+DQ$ は最も小さくなる。点$ P,\ Q$$ y$ 座標も動かしたときを考える。点$ P$$ y$ 座標を$ p$ 、点$ Q$$ y$ 座標を$ q$ とする。$ p>q$ のときは、点$ P$ と点$ Q$ の位置を入れ替えることで、 $ AP+BP+PQ+CQ+DQ$ は小さくすることができるので、$ p\leqq q$ とする。すると、


$\displaystyle AP+BP+PQ+CQ+DQ$ $\displaystyle =$ $\displaystyle AP+BP+(MP-MQ)+CQ+DQ$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle AP+BP+MP-(OM-OQ)+CQ+DQ$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (AP+BP+MP)+(CQ+DQ+OQ)-OM$  

である。$ OM$ は定数$ 2$ であり、これは $ \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ よりも大きい。そこで、$ (2)$ を用いると、 $ AP+BP+MP,\ CQ+DQ+OQ$ の最小値は、$ a=2$ とした $ \sqrt{3}+2$ となる($ CQ+DQ+OQ$ の場合も、$ (2)$ と同様に考えればよい)。したがって、 $ AP+BP+PQ+CQ+DQ$ の最小値は、 $ 2(\sqrt{3}+2)-2=2\sqrt{3}+2$ である。

\includegraphics[width=50mm]{2.eps}

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