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東京医科歯科大学2003年度入試問題数学解答

90分、120点。


$ \fbox{1}$

$ (1)$
$ z=a+bi$ と置くと、条件$ (a)$ より

$\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}\leqq 1
$

であり、条件$ (b)$ より

$\displaystyle z+\bar{z}=2a,\ z\bar{z}=a^2+b^2
$

はともに整数である。従って、 $ a^2+b^2\leqq 1$ であるから、 $ a^2+b^2=0,\ 1$ である。$ a^2+b^2=0$ のときは $ (a,\ b)=(0,\ 0)$ である。

$ a^2+b^2=1$ のときは、 $ -1\leqq a\leqq 1$ であり、$ 2a$ は整数だから、 $ 2a= 0,\ \pm1,\ \pm2$ である。つまり、 $ a=0,\ \pm\dfrac{1}{2},\ \pm1$ である。これより、 $ (a,\ b)=(0,\ \pm1),\ (\pm\dfrac{1}{2},\ \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}),\ (\pm1,\ 0)$ である。図示すると、下図のようになる。

\includegraphics[width=100mm]{1.eps}

$ (2)$
条件$ (d)$ については対偶を考える。すなわち、「 $ z^2-pz+q=0$ が成立するならば、 $ \vert z\vert\leqq 1$ である」。以下、 $ f(z)=z^2-pz+q$ と置く。

$ 1^{\circ}$
$ z^2-pz+q=0$ が実数解をもつとき、その$ 2$ つの解は $ -1\leqq z\leqq 1$ にあるので、次の条件が成り立つ。

$ \begin{cases}
-1\leqq \dfrac{p}{2}\leqq 1 & \\
p^2-4q\geqq 0 & \\
f(1)\geqq 0 & \\
f(-1)\geqq 0 &
\end{cases}$

すなわち、

$ \begin{cases}
-2\leqq p\leqq 2 & \\
q\leqq \dfrac{p^2}{4} & \\
q\geqq p-1 & \\
q \geqq -p-1 &
\end{cases}$

である。条件$ (c)$ より、一番上の式から $ p=-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2$ と絞れる。すると、順に、


$\displaystyle q\leqq 1,\ q\geqq-3,\ q\geqq 1$ $\displaystyle \rightarrow$ $\displaystyle q=1$  
$\displaystyle q\leqq \dfrac{1}{2},\ q\geqq-2,\ q\geqq 0$ $\displaystyle \rightarrow$ $\displaystyle q=0$  
$\displaystyle q\leqq 0,\ q\geqq -1,\ q\geqq -1$ $\displaystyle \rightarrow$ $\displaystyle q=-1,\ q=0$  
$\displaystyle q\leqq \dfrac{1}{2},\ q\geqq0,\ q\geqq -2$ $\displaystyle \rightarrow$ $\displaystyle q=0$  
$\displaystyle q\leqq 1,\ q\geqq1,\ q\geqq -3$ $\displaystyle \rightarrow$ $\displaystyle q=1$  

となる。よって、求める$ p, \ q$ の組は、

$ (p,\ q)=(-2,\ 1),\ (-1,\ 0),\ (0,\ -1),\ (0,\ 0),\ (1,\ 0),\ (2,\ 1)$ である。

$ 2^{\circ}$
$ z^2-pz+q=0$ が虚数解をもつとき、解の係数の関係より、

$ \begin{cases}
z+\bar{z}=p & \\
z\bar{z}=q &
\end{cases}$

はともに整数である。また、$ \vert z\vert\leqq 1$ である。すると、$ (1)$ よりそのような虚数$ z$

$ z=\pm i,\ \dfrac{\pm1\pm \sqrt{3}}{2}$ (複合任意)となる。このとき、

$ (p,\ q)=(0,\ 1),\ (1,\ 1),\ (-1,\ 1)$ となる。


$ \fbox{2}$

$ (1)$
$ M$ には逆行列が存在するので、与えられた漸化式より、

$\displaystyle \left(\begin{array}{c}x_{n-1} \\ y_{n-1}\end{array}\right)=M^{-1}\left(\begin{array}{c}x_{n} \\ y_{n}\end{array}\right)\ (n=1,\ 2,\ \cdots)
$

である。ある自然数$ n$$ P_n$$ P_{n-1}$ が等しいとすると、


$\displaystyle \left(\begin{array}{c}x_{n-2} \\ y_{n-2}\end{array}\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M^{-1}\left(\begin{array}{c}x_{n-1} \\ y_{n-1}\end{array}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle M^{-1}\left(\begin{array}{c}x_{n} \\ y_{n}\end{array}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{c}x_{n-1} \\ y_{n-1}\end{array}\right)$  

となる。従って、 $ P_{n-2}=P_{n-1}$ である。同様に、

$ P_{n-2}=P_{n-3}=\cdots =P_1=P_0$ となるが、これは$ P_0$$ P_1$ が異なることに反する。よって、$ P_0$$ P_1$ が異なるとき、すべての自然数$ n$ に対して$ P_n$$ P_{n-1}$ と異なる。

$ (2)$
与えられた条件より、


$\displaystyle \left(\begin{array}{c}\cos{\theta} \\ \sin{\theta}\end{array}\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M\left(\begin{array}{c}1 \\ 0\end{array}\right)$  
$\displaystyle \left(\begin{array}{c}\cos{2\theta} \\ \sin{2\theta}\end{array}\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M\left(\begin{array}{c}\cos{\theta} \\ \sin{\theta}\end{array}\right)$  

である。従って、

$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}\cos{\theta} & \cos{2\theta} \\ \sin{\thet...
...M\left(\begin{array}{cc}1 & \cos{\theta} \\ 0 & \sin{\theta}\end{array}\right)
$

である。 $ \left(\begin{array}{cc}1 & \cos{\theta} \\ 0 & \sin{\theta}\end{array}\right)$ の行列式は $ \sin{\theta}$ である。

$ 1^{\circ}$
$ \sin{\theta}=0$ のとき、 $ \cos{\theta}=\pm1$ で、整数$ m$ を用いて $ \theta=m\pi$ とおける。最初の式から


$\displaystyle \left(\begin{array}{c}\pm1 \\ 0\end{array}\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M\left(\begin{array}{c}1 \\ 0\end{array}\right)$  
$\displaystyle \left(\begin{array}{c}1 \\ 0\end{array}\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M\left(\begin{array}{c}\pm1 \\ 0\end{array}\right)$  

であるから、$ P_n$ $ \left(\begin{array}{c}\pm1 \\ 0\end{array}\right) $ $ \left(\begin{array}{c}\pm1 \\ 0\end{array}\right) $ を交互に繰り返す。従って、 $ (x_n,\ y_n)=(\cos{nm\pi},\ \sin{nm\pi})$ であるから、題意が成り立つ。

$ 2^{\circ}$
$ \sin{\theta}\ne 0$ のとき、


$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}\cos{\theta} & \cos{2\theta} \\ \sin{\thet...
...t(\begin{array}{cc}1 & \cos{\theta} \\ 0 & \sin{\theta}\end{array}\right)}^{-1}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{1}{\sin{\theta}} \left(\begin{array}{cc}\cos{\theta} & \co...
...)\left(\begin{array}{cc}\sin{\theta} & -\cos{\theta} \\ 0 & 1\end{array}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{1}{\sin{\theta}}\left(\begin{array}{cc}\cos{\theta}\sin{\t...
...a} \\ \sin^2{\theta} & -\sin{\theta}\cos{\theta}\sin{2\theta}\end{array}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{1}{\sin{\theta}}\left(\begin{array}{cc}\cos{\theta}\sin{\t...
... -\sin^2{\theta} \\ \sin^2{\theta} & \sin{\theta}\cos{\theta}\end{array}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}\cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta}\end{array}\right)$  

となる。

この式で $ \theta=m\pi$ とすると、$ 1^{\circ}$ のときも含むので、併せて

$ M=\left(\begin{array}{cc}\cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta}\end{array}\right)$ である。

すると、


$\displaystyle \left(\begin{array}{c}x_n \\ y_n\end{array}\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M^n\left(\begin{array}{c}x_0 \\ y_0\end{array}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}\cos{n\theta} & -\sin{n\theta} \\ \sin{n\t...
...& \cos{n\theta}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 \\ 0\end{array}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{c}\cos{n\theta} \\ \sin{n\theta}\end{array}\right)$  

となる。よって、題意は証明された。

$ (3)$
$ A,\ B,\ C,\ D,\ E,\ F$ を座標平面上に描くと、 $ A,\ B,\ C,\ D,\ E,\ F$ は原点$ O$ を中心とする正六角形の頂点である。 $ P_0=A,\ P_1=B$ で、 $ P_0\ne P_1$ であるから、$ (1)$ よりすべての自然数$ n$ に対して $ P_n\ne P_{n-1}$ である。$ P_2$ $ A,\ B,\ C,\ D,\ E,\ F$ のどれになるかで分けて考える。ただし、$ P_1=B$ だから$ P_2=B$ とはならないことに注意する。

$ P_2=A$ のとき


$\displaystyle \overrightarrow{P_0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OA}$  
$\displaystyle \overrightarrow{P_1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OP_0}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OA}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OB}$  
$\displaystyle \overrightarrow{P_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OP_1}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OB}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OA}$  

が前提条件となる。このとき、


$\displaystyle \overrightarrow{OP_3}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OP_2}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OA}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OB}$  
$\displaystyle \overrightarrow{OP_4}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OP_3}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OB}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OA}$  
$\displaystyle \overrightarrow{OP_5}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OP_4}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OA}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OB}$  
$\displaystyle \overrightarrow{OP_6}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OP_5}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OB}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OA}$  

となり、$ P_6\ne A$ に反する。

$ P_2=C$ のとき
$ \overrightarrow{OP_1}=(\cos{60^{\circ}},\ \sin{60^{\circ}}),\ \overrightarrow{OP_2}=(\cos{120^{\circ}},\ \sin{120^{\circ}})$ とおけるので、$ (2)$ より $ \overrightarrow{OP_6}=(\cos{360^{\circ}},\ \sin{360^{\circ}})=(1,\ 0)$ となる。これは$ P_6\ne A$ に反する。

$ P_2=D$ のとき


$\displaystyle \overrightarrow{P_0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OA}$  
$\displaystyle \overrightarrow{P_1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OP_0}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OA}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OB}$  
$\displaystyle \overrightarrow{P_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OP_1}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OB}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OD}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\overrightarrow{OA}$  

が前提条件となる。このとき、


$\displaystyle \overrightarrow{OP_3}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OP_2}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -M\overrightarrow{OA}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\overrightarrow{OB}$  
$\displaystyle \overrightarrow{OP_4}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OP_3}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -M\overrightarrow{OB}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -M\overrightarrow{OD}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OA}$  
$\displaystyle \overrightarrow{OP_5}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OP_4}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OA}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OB}$  
$\displaystyle \overrightarrow{OP_6}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OP_5}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OB}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OD}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\overrightarrow{OA}$  

となり、$ P_n$ $ n=1,\ 2,\ \cdots$ のとき $ A,\ B,\ D,\ E$ を繰り返し、$ P_6\ne A$ であるから、条件 $ (a),\ (b),\ (c)$ はすべて満たされる。


$\displaystyle M\overrightarrow{OA}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OB}$  
$\displaystyle M\overrightarrow{OB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\overrightarrow{OA}$  

より、

$\displaystyle M\left(\begin{array}{cc}1 & \dfrac{1}{2} \\ 0 & \dfrac{\sqrt{3}}{...
...begin{array}{cc}\dfrac{1}{2} & -1 \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} & 0\end{array}\right)
$


$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}\dfrac{1}{2} & -1 \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} &...
...n{array}{cc}1 & \dfrac{1}{2} \\ 0 & \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right)}^{-1}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{3}} \left(\begin{array}{cc}\dfrac{1}{2} & -1 \\ \...
...\begin{array}{cc}\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} \\ 0 & 1\end{array}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{cc}\dfrac{\sqrt{3}}{4} & -\dfrac{5}{4} \\ \dfrac{3}{4} & -\dfrac{\sqrt{3}}{4}\end{array}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}\dfrac{1}{2} & \dfrac{-5\sqrt{3}}{6} \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2}\end{array}\right)$  

となる。

$ P_2=E$ のとき


$\displaystyle \overrightarrow{P_0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OA}$  
$\displaystyle \overrightarrow{P_1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OP_0}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OA}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OB}$  
$\displaystyle \overrightarrow{P_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OP_1}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OB}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OE}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\overrightarrow{OB}$  

が前提条件となる。このとき、


$\displaystyle \overrightarrow{OP_3}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OP_2}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -M\overrightarrow{OB}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OB}$  
$\displaystyle \overrightarrow{OP_4}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OP_3}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OB}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\overrightarrow{OB}$  
$\displaystyle \overrightarrow{OP_5}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OP_4}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -M\overrightarrow{OB}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OB}$  
$\displaystyle \overrightarrow{OP_6}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OP_5}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OB}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\overrightarrow{OB}$  

となる。このとき、 $ \overrightarrow{OB}=M\overrightarrow{OA}=M\overrightarrow{OE}$ であるから、$ M^{-1}$ を左から掛けると $ \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OE}$ となるが、矛盾。従って、$ P_2=E$ とはならない。

$ P_2=F$ のとき


$\displaystyle \overrightarrow{P_0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OA}$  
$\displaystyle \overrightarrow{P_1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OP_0}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OA}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OB}$  
$\displaystyle \overrightarrow{P_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OP_1}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OB}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OF}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$  

が前提条件となる。このとき、


$\displaystyle \overrightarrow{OP_3}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OP_2}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle M\overrightarrow{OA}-M\overrightarrow{OB}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OB}-(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (0,\ \sqrt{3})$  

となる。これは $ A,\ B,\ C,\ D,\ E,\ F$ のどれとも異なる。

以上より、 $ M=\left(\begin{array}{cc}\dfrac{1}{2} & \dfrac{-5\sqrt{3}}{6} \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2}\end{array}\right)$ が求める答えである。


$ \fbox{3}$

$ (1)$


$\displaystyle \dfrac{dx}{dt}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -3a\cos^2{t}\sin{t}$  
$\displaystyle \dfrac{dy}{dt}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 3b\sin^2{t}\cos{t}$  

であるから、点$ P$ における$ C$ の接線は


$\displaystyle -3a\cos^2{\theta}\sin{\theta}(y-b\sin^3{\theta})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 3b\sin^2{\theta}\cos{\theta}(x-a\cos^3{\theta})$  
$\displaystyle -a\cos{\theta}(y-b\sin^3{\theta})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\sin{\theta}(x-a\cos^3{\theta}) \ (0<\theta<\dfrac{\pi}{2})$  
$\displaystyle b\sin{\theta}x+a\cos{\theta}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ab\sin{\theta}\cos{\theta}$  

となる。この式で$ y=0$ とすることで点$ Q$ の座標 $ (a\cos{\theta},\ 0)$ が分かり、また$ x=0$ とすることで点$ R$ の座標 $ (0,\ b\sin{\theta})$ が分かる。従って、 $ l(\theta)=\sqrt{a^2\cos^2{\theta}+b^2\sin^2{\theta}}$ である。

$ (2)$
$ (1)$ より、 $ {\{l(\theta)\}}^2=a^2\cos^2{\theta}+b^2\sin^2{\theta}$ であるから、


$\displaystyle \dfrac{d}{d\theta}{\{l(\theta)\}}^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -2a^2\cos{\theta}\sin{\theta}+2b^2\sin{\theta}\cos{\theta}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (b^2-a^2)\sin{2\theta}$  

となる。よって、 $ \dfrac{d}{d\theta}{\{l(\theta)\}}^2=(b^2-a^2)\sin{2\theta}$ である。

$ (3)$
曲線の長さの式より、求める曲線$ C$ の長さを$ L$ とすると、


$\displaystyle L$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{{\left\{\dfrac{dx}{dt}\right\}^2+{\left\{\dfrac{dy}{dt}\right\}}^2}}dt}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{{(-3a\cos^2{t}\sin{t})}^2+{(3b\sin^2{t}\cos{t})}^2}dt}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{3\cos{t}\sin{t}\sqrt{a^2\cos^2{t}+b^2\sin^2{t}}dt}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{3}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin{2t}\sqrt{a^2\cos^2{t}+b^2\sin^2{t}}dt}$  

となる。

$ a=b$ のとき


$\displaystyle L$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{3a}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin{2t}dt}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{3a}{4}[-\cos{2t}]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{3a}{2}$  

となる。

$ a\ne b$ のとき
$ (2)$ より、


$\displaystyle L$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{3}{2(b^2-a^2)}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\dfrac{d}{dt}{\{l(t)\}}^2\cdot l(t)dt}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{3}{b^2-a^2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{{\{l(t)\}}^2\cdot l^{\prime}(t)dt}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{1}{b^2-a^2}[{\{l(t)\}}^3]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$  

となる。ここで、 $ l\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=b,\ l(0)=a$ であるから、


$\displaystyle L$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{1}{b^2-a^2}(b^3-a^3)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{b^2+ab+a^2}{b+a}$  

となる。この式で$ a=b$ とすると、 $ L=\dfrac{3}{2}a$ となり、$ a=b$ のときの答えと一致する。

以上より、曲線$ C$ の長さは $ \dfrac{b^2+ab+a^2}{b+a}$ である。

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