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東京医科歯科大学年2002度入試問題数学解答

90分、120点。

1   解答


$ \fbox{1}$

$ (1)$
$ P(x,\ y,\ 0)$ と置く。

$\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP}\geqq \dfrac{\sqrt{3}}{2}\vert\overrightarrow{AB}\vert\vert\overrightarrow{AP}\vert
$

$ A(0,\ 0,\ 1),\ B(0,\ 0,\ 0)$ を代入して、

$\displaystyle (0,\ 0,\ -1)\cdot (x,\ y,\ -1)\geqq \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1\cdot \sqrt{x^2+y^2+1}
$

である。整理して、

$\displaystyle x^2+y^2\leqq \dfrac{1}{3}
$

となる。これは半径 $ \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ で原点を中心とする円の内部である(周も含む)。図は下のようになる。

\includegraphics[width=80mm]{1.eps}

$ (2)$
同様に $ P(x,\ y,\ 0)$ と置く。

$\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP}\geqq \dfrac{\sqrt{3}}{2}\vert\overrightarrow{AB}\vert\vert\overrightarrow{AP}\vert
$

$ A(0,\ 0,\ \sqrt{3}),\ B(1,\ 0,\ 0)$ を代入して、

$\displaystyle (1,\ 0,\ -\sqrt{3})\cdot (x,\ y,\ -\sqrt{3})\geqq \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2\cdot \sqrt{x^2+y^2+3}
$

である。整理して、

$\displaystyle x+3\geqq \sqrt{3}\sqrt{x^2+y^2+3}
$

である。 $ x+3\geqq 0$ の元で両辺を二乗して、

$\displaystyle x^2+6x+9\geqq 3(x^2+y^2+3)
$

である。整理すると、

$\displaystyle \dfrac{4}{9}{\left(x-\dfrac{3}{2}\right)}^2+\dfrac{2}{9}y^2\leqq 1
$

となる。$ x\geqq -3$ も考慮して、これは下図のような楕円の内部(周も含む)で、面積は $ \pi\sqrt{\dfrac{9}{4}\cdot \dfrac{9}{2}} = \dfrac{3\pi\sqrt{6}}{4}$ となる。

\includegraphics[width=80mm]{2.eps}

$ (3)$
同様に $ P(x,\ y,\ 0)$ と置く。

$\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP}\geqq \dfrac{\sqrt{3}}{2}\vert\overrightarrow{AB}\vert\vert\overrightarrow{AP}\vert
$

$ A(0,\ 0,\ 2\sqrt{3}),\ B(\sqrt{2},\ \sqrt{2},\ 0)$ を代入して、

$\displaystyle (\sqrt{2},\ \sqrt{2},\ -2\sqrt{3})\cdot (x,\ y,\ -2\sqrt{3})\geqq \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 4\cdot \sqrt{x^2+y^2+12}
$

である。整理して、

$\displaystyle \sqrt{2}x+\sqrt{2}y+12\geqq 2\sqrt{3}\sqrt{x^2+y^2+12}\ \eqno(a)
$

となる。ここで、

$\displaystyle \left(\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array...
...os{45^{\circ}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}X \\ Y\end{array}\right)
$

とする。つまり、点 $ (X,\ Y,\ 0)$$ xy$ 平面上で点$ P$ $ -45^{\circ}$ 回転したものである。 $ x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(X-Y),\ y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(X+Y)$ を式$ (a)$ に代入して、

$\displaystyle (X-Y)+(X+Y)+12\geqq 2\sqrt{3}\sqrt{\dfrac{X^2-2XY+Y^2}{2}+\dfrac{X^2+2XY+Y^2}{2}+12}
$

である。整理して、

$\displaystyle X+6\geqq \sqrt{3}\sqrt{X^2+Y^2+12}
$

である。 $ X+6\geqq 0$ の元で両辺を二乗して、

$\displaystyle X^2+12X+36\geqq 3(X^2+Y^2+12)
$

である。まとめると、

$\displaystyle \dfrac{{(X-3)}^2}{9}+\dfrac{Y^2}{6}\leqq 1
$

となる。これは楕円の内部(周も含む)であり、その面積は $ \pi\sqrt{9\cdot 6}=3\pi\sqrt{6}$ である。上の回転操作で図形の面積自体は変わらないので、求める面積はこれでよい。


$ \fbox{2}$

$ (1)$
$ y^{\prime}=2(x-\alpha)(x-\beta)+{(x-\alpha)}^2$ であるから、


$\displaystyle y^{\prime\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2(x-\beta)+2(x-\alpha)+2(x-\alpha)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 6x-4\alpha-2\beta$  

となる。従って、 $ y^{\prime\prime}=0$ となる点は $ x=\dfrac{2\alpha+\beta}{3}$ である。これが変曲点の$ x$ 座標となる。$ y$ 座標は、 $ y={(x-\alpha)}^2(x-\beta)$ $ x=\dfrac{2\alpha+\beta}{3}$ を代入して、


$\displaystyle y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {\left(\dfrac{2\alpha+\beta}{3}-\alpha\right)}^2\left(\dfrac{2\alpha+\beta}{3}-\beta\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{{(\beta-\alpha)}^2}{9}\cdot \dfrac{2}{3}(\alpha-\beta)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{2}{27}{(\alpha-\beta)}^3$  

となる。以上より、変曲点の座標は $ \left(\dfrac{2\alpha+\beta}{3},\ \dfrac{2}{27}{(\alpha-\beta)}^3\right)$ となる。

$ (2)$
$ Q$$ x$ 座標を$ q$ とする。点$ P$ における$ C$ の接線を$ y_1$ とすると、$ y_1$$ x$ に関しての一次関数で、

$\displaystyle x^3-3x^2+ax+b-y_1={(x-p)}^2(x-q)
$

が成り立つ。$ 2$ 次の係数を比較すると、$ 2p+q=3$ となる。ただし、$ p\ne q$ より$ p\ne1$ が必要である。全く同様にして、点$ Q$ における$ C$ の接線を$ y_2$ とすると、$ y_2$$ x$ に関しての一次関数で、

$\displaystyle x^3-3x^2+ax+b-y_2={(x-q)}^2(x-r)
$

が成り立つ。$ 2$ 次の係数を比較すると、$ 2q+r=3$ となる($ q\ne1$ )。以上より、


$\displaystyle r$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 3-2q$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 3-2(3-2p)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 4p-3$  

となる。よって、 $ r=4p-3\ (p\ne 1)$ が答えになる。


$ \fbox{3}$

$ (1)$


$\displaystyle f_1(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{1}^{x}{(x-t)e^tdt}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle x[e^t]_{1}^{x}-\int_{1}^{x}{te^tdt}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle xe^x-ex-[(t-1)e^t]_{1}^{x}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle xe^x-ex-(x-1)e^x$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle e^x-ex$  
$\displaystyle f_2(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{1}^{x}{{(x-t)}^2e^tdt}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle [{(x-t)}^2e^t]_{1}^{x}-\int_{1}^{x}{(-1)\cdot2(x-t)e^tdt}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -{(x-1)}^2e+2\int_{1}^{x}{(x-t)e^tdt}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -{(x-1)}^2e+2f_1(x)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -{(x-1)}^2e+2(e^x-ex)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -x^2e+2e^x-e$  

となる。よって、 $ f_1(x)=e^x-ex,\ f_2(x)=-x^2e+2e^x-e$ である。

$ (2)$
部分積分法より、$ n\geqq 2$ のとき、


$\displaystyle f_n(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{1}^{x}{{(x-t)}^ne^tdt}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle [{(x-t)}^ne^t]_{1}^{x}-\int_{1}^{x}{(-1)\cdot n{(x-t)}^{n-1}e^tdtdt}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -{(x-1)}^ne+n\int_{1}^{x}{{(x-t)}^{n-1}e^tdt}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -{(x-1)}^ne+nf_{n-1}(x)$  

となる。よって、$ n\geqq 2$ のとき、 $ f_n(x)-nf_{n-1}(x)=-{(x-1)}^ne$ である。

$ (3)$
積分

$\displaystyle f_n(x)=\int_{1}^{x}{{(x-t)}^ne^tdt}
$

において$ x-t=s$ と置換すると、


$\displaystyle f_n(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{x-1}^{0}{s^ne^{x-s}(-ds)}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle e^x\int_{0}^{x-1}{s^ne^{-s}ds}$  

である。従って、


$\displaystyle f_n^{\prime}(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^x\int_{0}^{x-1}{s^ne^{-s}ds}+e^x{(x-1)}^ne^{-(x-1)}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle f_n(x)+e^x{(x-1)}^ne$  

である。これより、 $ f_n(x)-f_n^{\prime}(x)=-{(x-1)}^ne$ となる。

$ (4)$
$ (2),\ (3)$ より、$ n\geqq 2$ のとき $ f_n^{\prime}(x)=nf_{n-1}(x)$ が分かる。この式を$ n-2$ 回微分して、


$\displaystyle f_n^{(n-1)}(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle n\cdot n-1\cdot \cdots 2\cdot f_1(x)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle n!(e^x-ex)$  

となる。よって、求める答えは $ n!(e^x-ex)$ である。

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