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東京医科歯科大学1997年度入試問題数学解答

90分、120点。


$ \fbox{1}$

$ (1)$
$ \dfrac{1}{z}$ が存在するので $ x^2+y^2\ne 0$ である。


$\displaystyle z+\dfrac{1}{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x+yi+\dfrac{1}{x+yi}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle x+yi+\dfrac{x-yi}{x^2+y^2}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle x+\dfrac{x}{x^2+y^2}+y\left(1-\dfrac{y}{x^2+y^2}\right)i$  

である。従って、 $ z+\dfrac{1}{z}$ が実数であるとき、$ y=0$ または$ x^2+y^2=1$ である。

$ y=0$ のとき
$ x^2y+4y^3=0$ である。
$ x^2+y^2=1$ のとき
$ -1\leqq y\leqq 1$ であり、


$\displaystyle x^2y+4y^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (1-x^2)y+4y^3$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 3y^3+y$  

となる。これを$ y$ について微分すると、$ 9y^2+1>0$ となるので、

$\displaystyle 3y^3+y\leqq 3\cdot 1^3+1=4
$

である。

以上より、$ x^2y+4y^3$最大値は$ 4$ である。

$ (2)$
$ \bar{z}$$ z$ の共役複素数とすると、 $ z^2+\dfrac{1}{z^2}$ が実数である条件は

$\displaystyle z^2+\dfrac{1}{z^2}=\overline{z^2+\dfrac{1}{z^2}}=\bar{z^2}+\dfrac{1}{\bar{z^2}}
$

である。変形して、

$\displaystyle (z+\bar{z})(z-\bar{z})=\dfrac{(z+\bar{z})(z-\bar{z})}{z^2\bar{z^2}}
$

である。さらに整理すると、

$\displaystyle (z+\bar{z})(z-\bar{z})(z\bar{z}+1)(z\bar{z}-1)=0
$

となる。従って、

$\displaystyle z+\bar{z}=0\ or\ z-\bar{z}=0\ or\ z\bar{z}-1=0
$

である( $ z\bar{z}=\vert z\vert^2$ なので、 $ z\bar{z}=-1$ とならない)。

$ z=\left(x+y-\dfrac{1}{2}\right)+(x-y)i$ を代入して、

\begin{displaymath}
\begin{cases}
x+y-\dfrac{1}{2}=0 & \text{または } \\
x-y=...
... \\
{\left(x+y-\dfrac{1}{2}\right)}^2+{(x-y)}^2=1
\end{cases}\end{displaymath}

となる。ただし、 $ x+y-\dfrac{1}{2}$ かつ$ x-y=0$ となる点、すなわち $ (x,\ y)=\left(\dfrac{1}{4},\ \dfrac{1}{4}\right)$ は除く。


$\displaystyle {\left(x+y-\dfrac{1}{2}\right)}^2+{(x-y)}^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$  
$\displaystyle 2x^2+2y^2-x-y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$  
$\displaystyle {\left(x-\dfrac{1}{4}\right)}^2+{\left(y-\dfrac{1}{4}\right)}^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{1}{2}$  

であるから、点$ P$ の存在範囲を図示すると下の図のようになる。

\includegraphics[width=100mm]{1.eps}


$ \fbox{2}$

$ (1)$
$ D,\ E$ はそれぞれ辺$ OA,\ OB$ 上にあるので、


$\displaystyle \overrightarrow{OD}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k\overrightarrow{OA}$  
$\displaystyle \overrightarrow{OE}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle l\overrightarrow{OB}$  

と置く。 $ \overrightarrow{OF}$$ 2$ 通りに表す。図より、

\includegraphics[width=80mm]{2.eps}


$\displaystyle \overrightarrow{OF}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OD}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{DB}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle k\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{OB}-k\overrightarrow{OA})$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{3}{4}k\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{OB}$  

であり、また、


$\displaystyle \overrightarrow{OF}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OE}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{EA}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle l\overrightarrow{OB}+\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{OA}-l\overrightarrow{OB})$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\dfrac{2}{3}l\overrightarrow{OB}$  

である。係数を比較して、

\begin{displaymath}
\begin{cases}
\dfrac{3}{4}k= \dfrac{1}{3} & \\
\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{3}l &
\end{cases}\end{displaymath}

となる。従って、 $ k=\dfrac{4}{9},\ l=\dfrac{3}{8}$ である。これより

$ \overrightarrow{OF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{OB}$ となる。

$ (2)$
$ (1)$ より $ \overrightarrow{OE}=\dfrac{3}{8}\overrightarrow{OB}$ である。下の図より、

\includegraphics[width=80mm]{3.eps}


$\displaystyle \overrightarrow{OQ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m\overrightarrow{OP}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle m\left(\dfrac{1}{t+1}\overrightarrow{OB}+\dfrac{t}{t+1}\overrightarrow{OC}\right)$  

である。これを変形すると、


$\displaystyle \overrightarrow{OQ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{8m}{3(t+1)}\cdot \dfrac{3}{8}\overrightarrow{OB}+\dfrac{mt}{t+1}\overrightarrow{OC}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{8m}{3(t+1)}\overrightarrow{OE}+\dfrac{mt}{t+1}\overrightarrow{OC}$  

である。点$ Q$ は線分$ CE$ 上にあるから、

$\displaystyle \dfrac{8m}{3(t+1)}+\dfrac{mt}{t+1}=1
$

である。よって、 $ m=\dfrac{3(t+1)}{3t+8}$ となる。これを代入すれば、

$ \overrightarrow{OQ}=\dfrac{3}{3t+8}\overrightarrow{OB}+\dfrac{3t}{3t+8}\overrightarrow{OC}$ であることが分かる。

$ (3)$
$ \overrightarrow{OF}$ と辺$ AB$ との交点を$ G$ とする。 $ \overrightarrow{OG}=m\overrightarrow{OF}$ とすると、

$\displaystyle \overrightarrow{OG}=\dfrac{k}{3}\overrightarrow{OA}+\dfrac{k}{4}\overrightarrow{OB}
$

である。点$ G$ は辺$ AB$ 上にあるから、

$\displaystyle \dfrac{k}{3}+\dfrac{k}{4}=1
$

である。よって、 $ k=\dfrac{12}{7}$ で、

$\displaystyle \overrightarrow{OG}=\dfrac{4}{7}\overrightarrow{OA}+\dfrac{3}{7}\overrightarrow{OB}
$

である。直線$ FQ$ と平面$ ABC$ が平行なとき、 $ k\overrightarrow{OQ}=\dfrac{12}{7}\overrightarrow{OQ}$ は辺$ BC$ 上にある。$ (2)$ の結果から、

$\displaystyle \dfrac{12}{7}\left(\dfrac{3}{3t+8}+\dfrac{3t}{3t+8}\right)=1
$

となる。よって、 $ t=\dfrac{4}{3}$ となる。


$ \fbox{3}$

$ (1)$
曲線$ C$ と直線$ l$ の方程式を連立させて、


$\displaystyle 2x^2-x^4$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$  
$\displaystyle x^4-2x^2+a$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {0}$  
$\displaystyle x^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1\pm \sqrt{1-a}$  
$\displaystyle x=\pm(\sqrt{1\pm\sqrt{1-a}})$      

となる。よって、求める交点は

$ (-\sqrt{1-\sqrt{1-a}},\ a),\ (-\sqrt{1+\sqrt{1-a}},\ a),\ (\sqrt{1-\sqrt{1-a}},\ a),\ (\sqrt{1+\sqrt{1-a}},\ a)$ である。

$ (2)$
$ y=2x^2-x^4$$ x$ について微分すると、 $ y^{\prime}=4x(1-x)(1+x)$ となる。グラフの概形を書くと下の図のようになる。

\includegraphics[width=100mm]{4.eps}

$ (1)$ の過程を利用すると、


$\displaystyle V_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{a}^{1}{{\left\{\sqrt{1+\sqrt{1-y}}\right\}}^2\pi dy}-\int_{a}^{1}{{\left\{\sqrt{1-\sqrt{1-y}}\right\}}^2\pi dy}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi \int_{a}^{1}{\sqrt{1-y}dy}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi\left[-\dfrac{2}{3}{(1-y)}^{\frac{3}{2}}\right]_{a}^{1}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{4\pi}{3}{(1-a)}^{\frac{3}{2}}$  
$\displaystyle V_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{0}^{a}{{\left\{\sqrt{1-\sqrt{1-y}}\right\}}^2\pi dy}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{0}^{a}{\{1-\sqrt{1-y}\}\pi dy}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left[y+\dfrac{2}{3}{(1-y)}^{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{a}\pi$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left\{a+\dfrac{2}{3}{(1-a)}^{\frac{3}{2}}-\dfrac{2}{3}\right\}\pi$  

となる。よって、 $ V_1= \dfrac{4\pi}{3}{(1-a)}^{\frac{3}{2}},\ V_2= \left\{a+\dfrac{2}{3}{(1-a)}^{\frac{3}{2}}-\dfrac{2}{3}\right\}\pi$ である。

$ (3)$
$ (2)$ より、


$\displaystyle \dfrac{4\pi}{3}{(1-a)}^{\frac{3}{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left\{a+\dfrac{2}{3}{(1-a)}^{\frac{3}{2}}-\dfrac{2}{3}\right\}\pi$  
$\displaystyle \dfrac{2\pi}{3}{(1-a)}^{\frac{3}{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(a-\dfrac{2}{3}\right)\pi$  
$\displaystyle 2{(1-a)}^{\frac{3}{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (3a-2)$  
$\displaystyle 4{(1-a)}^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {(3a-2)}^2\ (3a-2>0)$  
$\displaystyle 4a^3-3a^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {0}$  
$\displaystyle 4a^2\left(a-\dfrac{3}{4}\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {0}$  

である。$ 3a-2>0$ であるから、 $ a=\dfrac{3}{4}$ が求める答えである。

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