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東京医科歯科大学1994年度入試問題数学解答

90分、120点。


$ \fbox{1}$

$ (1)$
$ 1$ 回コインを投げた後、点$ A$$ x$ 軸方向へは確率 $ \dfrac{1}{2}$$ +1$ 進み、確率 $ \dfrac{1}{2}$ でその場に留まる。従って、$ n$ 回の試行後、点$ A$ は確率

$\displaystyle _nC_{x} \times {\left(\dfrac{1}{2}\right)}^x\times {\left(\dfrac{1}{2}\right)}^{n-x} = \dfrac{_nC_{x}}{2^n}
$

$ x$ に進む。$ y$ 軸方向についても、同様であるから、 $ P_n(x),\ y\ne0$ となる点$ (x,\ y)$ に対して、 $ P_n(x,\ y)=\dfrac{_nC_{x}}{2^n}\times \dfrac{_nC_{y}}{2^n}$ となる。

\includegraphics[width=60mm]{1.eps}

$ (2)$
(表、表)、(表、裏)、(裏、表)、(裏、裏)の出た回数をそれぞれ順に $ p,\ q,\ r,\ s$ 回とする。$ n$ 回の試行後$ p+q+r+s=n$ である。

$ x$ 軸方向に進んだ距離と、$ y$ 軸方向に進んだ距離を別に考えると、

$ \begin{cases}
a_1=p+q & \\
a_2=p+r &
\end{cases}$

であることが分かる。従って、


$\displaystyle b_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle q-r$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1-a_2$  
$\displaystyle b_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle p-s$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle p-(n-p-q-r)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2p+q+r -n$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1+a_2-n$  

となる。よって、 $ (b_1,\ b_2)=(a_1-a_2,\ a_1+a_2-n)$ である。

$ (3)$
$ (2)$ より$ n=10$ において $ b_{1}=0,\ b_{2}=0$ のとき、

\begin{displaymath}
\begin{cases}
a_1-a_2=0 & \\
a_1+a_2-10=0 &
\end{cases}\end{displaymath}

となる。これを解くと、 $ a_1=5,\ a_2=5$ となる。$ (1)$ より


$\displaystyle P_{10}(5,\ 5)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{_{10}C_{5}\cdot _{10}C_{5}}{2^{20}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{{(9\cdot 2\cdot 7\cdot 2)}^2}{2^{20}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{3969}{2^{16}}$  

である。よって、 $ Q_{10}(0,\ 0)=\dfrac{3969}{2^{16}}$ である。


$ \fbox{2}$

$ (1)$
$ {\alpha}_1$ の方程式を書き直すと、

$\displaystyle x:y=1:-\tan{\theta}
$

であり、$ \beta$ の方程式を書き直すと


$\displaystyle y:z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1:\tan{\dfrac{\theta}{2}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\tan{\theta}:-\tan{\theta}\tan{\dfrac{\theta}{2}}$  

である。従って、$ l_1$ の方程式は

$\displaystyle x:y:z=1:-\tan{\theta}:-\tan{\theta}\tan{\dfrac{\theta}{2}} \ \eqno(a)
$

である。同様に、 $ {\alpha}_2$ の方程式を書き直すと

$\displaystyle x:y=1:\tan{\theta}
$

である。$ \beta$ の方程式は


$\displaystyle y:z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1:\tan{\dfrac{\theta}{2}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan{\theta}:\tan{\theta}\tan{\dfrac{\theta}{2}}$  

とも書き直せるから、$ l_2$ の方程式は

$\displaystyle x:y:z=1:\tan{\theta}:\tan{\theta}\tan{\dfrac{\theta}{2}} \ \eqno(b)
$

である。式$ (a),\ (b)$ から$ l_1$ の法線方向のベクトルが $ \left(1,\ -\tan{\theta},\ -\tan{\theta}\tan{\dfrac{\theta}{2}}\right)$ で、$ l_2$ の法線方向のベクトルが $ \left(1,\ \tan{\theta},\ \tan{\theta}\tan{\dfrac{\theta}{2}}\right)$ であることが分かる。$ l_1$$ l_2$ は直交するので、これらのベクトルは互いに直交し、その内積は0 になる。従って、


$\displaystyle \left(1,\ -\tan{\theta},\ -\tan{\theta}\tan{\dfrac{\theta}{2}}\right)\cdot\left(1,\ \tan{\theta},\ \tan{\theta}\tan{\dfrac{\theta}{2}}\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-\tan^2{\theta}-\tan^2{\theta}\tan^2{\dfrac{\theta}{2}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle {0}$  

である。整理して、

$\displaystyle \tan^2{\theta}\left(1+\tan^2{\dfrac{\theta}{2}}\right)=1 \ \eqno(c)
$

となる。 $ \cos{\theta}=x$ と置くと、


$\displaystyle \tan^2{\theta}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{1}{x^2}-1$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{1-x^2}{x^2}$  
$\displaystyle \tan^2{\dfrac{\theta}{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{\sin^2{\frac{\theta}{2}}}{\cos^2{\frac{\theta}{2}}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{\frac{1-\cos{\theta}}{2}}{\frac{1+\cos{\theta}}{2}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{1-x}{1+x}$  

であるから、式$ (c)$ に代入して、


$\displaystyle \dfrac{1-x^2}{x^2} \left(1+\dfrac{1-x}{1+x}\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$  
$\displaystyle 2(1-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x^2$  
$\displaystyle x^2+2x-2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {0}$  
$\displaystyle x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1\pm\sqrt{3}$  

となる。 $ 0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ より $ 0<\cos{\theta}<1$ であるから、 $ \cos{\theta}=-1+\sqrt{3}$ が答えである。

$ (2)$
$ {\alpha}_1$ を書き直すと、

$\displaystyle (x,\ y,\ z)\cdot (\tan{\theta},\ 1,\ 0)=0
$

となるので、 $ {\alpha}_1$ の法線方向のベクトルは $ (\tan{\theta},\ 1,\ 0)$ である。同様に、$ \gamma$ を書き直すと、

$\displaystyle (x,\ y,\ z)\cdot (0,\ \tan{\theta},\ -1)=0
$

となるので、$ \gamma$ の法線方向のベクトルは $ (0,\ \tan{\theta},\ -1)$ である。これらのベクトルのなす角が $ \dfrac{\pi}{3}$ であるから、内積の定義に代入して、


$\displaystyle (\tan{\theta},\ 1,\ 0)\cdot (0,\ \tan{\theta},\ -1)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\tan^2{\theta}+1}\sqrt{\tan^2{\theta}+1}\times\cos{\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}$  
$\displaystyle \tan{\theta}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{{\tan^2{\theta}+1}}{2}$  
$\displaystyle \tan^2{\theta}-2\tan{\theta}+1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {0}$  
$\displaystyle {(\tan{\theta}-1)}^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {0}$  
$\displaystyle \tan{\theta}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {1}$  
$\displaystyle \theta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{\pi}{4}\ (0<\theta<\dfrac{\pi}{2})$  

となる。よって、 $ \theta=\dfrac{\pi}{2}$ が求める答えである。


$ \fbox{3}$

$ (1)$
$ l$$ C$ の方程式を微分するとそれぞれ

$ \begin{cases}
l \ :\ y^{\prime}=a & \\
C \ : \ y^{\prime}=\dfrac{b}{x} &
\end{cases}$

となるので、接点の$ x$ 座標を$ t$ と置くと、

$ \begin{cases}
at+b=b\log{t}+ab & \\
a=\dfrac{b}{t} &
\end{cases}$

である。下の式より $ t=\dfrac{b}{a}\ (a>0)$ であるから、これを上の式に代入して、


$\displaystyle a\cdot \dfrac{b}{a}+b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\log{\left(\dfrac{b}{a}\right)}+ab$  
$\displaystyle 2b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\log{\left(\dfrac{b}{a}\right)}+ab$  

両辺を$ b\ (>0)$ で割って、


$\displaystyle 2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log{\left(\dfrac{b}{a}\right)}+a$  
$\displaystyle \dfrac{b}{a}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{2-a}$  

である。よって、 $ b=ae^{2-a}$ となる。

$ (2)$
$ l\ : \ y=ax+b=0$ となるのは、 $ x=-\dfrac{b}{a}$ で、 $ C \ : \ y=b\log{x}+ab=0$ となるのは、$ x=e^{-a}$ であるから、下のグラフの斜線部が求める面積であるので、 $ t=\dfrac{b}{a}$ に注意して、

\includegraphics[width=100mm]{2.eps}


$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{1}{2}\times \left\{t-\left(-\dfrac{b}{a}\right)\right\}\times \left(a\cdot t+b\right)-\int_{e^{-a}}^{t}{(b\log{x}+ab)dx}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{2b^2}{a}-b\int_{e^{-a}}^{t}{\log{x}dx}-ab\left(t-e^{-a}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{2b^2}{a}-b[x(\log{x}-1)]_{e^{-a}}^{t}-b^2+abe^{-a}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{2b^2}{a}-b\left\{{\dfrac{b}{a}}\left(\log{\left(\dfrac{b}{a}\right)}-1\right)\right\}+b(e^{-a})(-a-1)-b^2+abe^{-a}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{3b^2}{a}-\dfrac{b^2}{a}\log{\left(\dfrac{b}{a}\right)}-b^2-be^{-a}$  

である。$ (1)$ の途中経過より $ \log{\left(\dfrac{b}{a}\right)}=2-a$ であるから、代入して、


$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{3b^2}{a}-\dfrac{b^2}{a}(2-a)-b^2-be^{-a}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{b^2}{a}-be^{-a}$  

となる。$ (1)$ より $ b=ae^{2-a}$ であるから、さらに代入して、


$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{a^2e^{4-2a}}{a}-ae^{2-2a}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle e^2(e^2-1)ae^{-2a}$  

である。従って、 $ f(a)=ae^{-2a}\ (a>0)$ と置くと、


$\displaystyle f^{\prime}(a)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{-2a}+(-2)ae^{-2a}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{-2a}(1-2a)$  

である。従って、 $ a<\dfrac{1}{2}$ において $ f^{\prime}(a)>0$ $ a=\dfrac{1}{2}$ において $ f^{\prime}(a)=0$ $ a>\dfrac{1}{2}$ において $ f^{\prime}(a)<0$ であるから、 $ a=\dfrac{1}{2}$ において$ S$ は最大となる。

$ (3)$
接点の座標は


$\displaystyle (t,\ at+b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\dfrac{b}{a},\ 2b\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (e^{2-a},\ 2ae^{2-a})$  

である。この座標を$ (X,\ Y)$ と置くと、

\begin{displaymath}
\begin{cases}
X=e^{2-a} & \\
Y=2ae^{2-a} &
\end{cases}\end{displaymath}

である。 $ 0<a\leqq 2$ より $ 1\leqq X<e^2$ であり、$ X=e^{2-a}$ より $ a=2-\log{X}$$ Y$ の式に代入して、

$\displaystyle Y=2(2-\log{X})X
$

であるから、

$\displaystyle Y^{\prime}=-2(\log{X}-1)
$

となるので、$ Y$ の増減は以下の表のようになる。

$ X$ $ 1$   $ e$   $ e^2$
$ Y^{\prime}$ $ +$ $ +$ 0 $ -$ $ -$
$ Y$ $ 4$ $ \nearrow$ $ 2e$ $ \searrow$ 0

また、 $ Y^{\prime\prime}=-\dfrac{2}{X}$ であるから、接点の軌跡は以下の図のようになる。

\includegraphics[width=80mm]{3.eps}

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