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東京医科歯科大学1992年度入試問題数学解答

90分、120点。


$ \fbox{1}$

$ (1)$
$ a>0,\ b\geqq0$ ならば、 $ b\leqq x\leqq b+1$ において、

$\displaystyle \sqrt{a+b}\leqq \sqrt{x+a}\leqq \sqrt{a+b+1}
$

である。したがって、

$\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{a+b+1}}\leqq \dfrac{1}{\sqrt{x+a}}\leqq \dfrac{1}{\sqrt{a+b}}
$

となる。この式を$ b$ から$ b+1$ まで$ x$ で積分することで、

$\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{a+b+1}}\leqq \int_{b}^{b+1}{\dfrac{dx}{\sqrt{x+a}}}\leqq \dfrac{1}{\sqrt{a+b}}
$

が分かる。よって、答えは

$\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{a+b+1}}\leqq \int_{b}^{b+1}{\dfrac{dx}{\sqrt{x+a}}}\leqq \dfrac{1}{\sqrt{a+b}}
$ となる。

$ (2)$
$ (1)$ の不等式において、 $ a=n^2,\ b=k$ とすると、

$\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{n^2+k+1}}\leqq \int_{k}^{k+1}{\dfrac{dx}{\sqrt{x+n^2}}}\leqq \dfrac{1}{\sqrt{n^2+k}}
$

である。右側の不等式で、 $ k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$ としたものを、辺ごとに足すと、

$\displaystyle \int_{1}^{n+1}{\dfrac{dx}{\sqrt{x+n^2}}}\leqq \sum_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{\sqrt{n^2+k}}}
$

であり、左側の不等式で、 $ k=0,\ 1,\ \cdots,\ n-1$ としたものを、辺ごとに足すと、

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{\sqrt{n^2+k}}}\leqq \int_{0}^{n}{\dfrac{dx}{\sqrt{x+n^2}}}
$

である。まとめると、

$\displaystyle \int_{1}^{n+1}{\dfrac{dx}{\sqrt{x+n^2}}}\leqq \sum_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{\sqrt{n^2+k}}}\leqq \int_{0}^{n}{\dfrac{dx}{\sqrt{x+n^2}}}
$

である。計算すると、


$\displaystyle \int_{1}^{n+1}{\dfrac{dx}{\sqrt{x+n^2}}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle [2\sqrt{x+n^2}]_{1}^{n+1}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2(\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2+1})$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{2n}{\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2+1}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}$  
  $\displaystyle \to$ $\displaystyle \dfrac{2}{1+1} \ (n\to\infty)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$  

および、


$\displaystyle \int_{0}^{n}{\dfrac{dx}{\sqrt{x+n^2}}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle [2\sqrt{x+n^2}]_{0}^{n}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2(\sqrt{n^n+n}-\sqrt{n^2})$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{2n}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1}}$  
  $\displaystyle \to$ $\displaystyle \dfrac{2}{1+1} \ (n\to\infty)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$  

であるから、はさみうちの原理より、 $ \displaystyle \lim_{n\to\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{\sqrt{n^2+k}}}}=1$ が求める答えである。


$ \fbox{2}$

$ (1)$
$ y=be^{ax},\ y=bx+a$ に対して、 $ y^{\prime}=bae^{ax},\ y^{\prime}=b$ であるから、接点の$ x$ 座標を$ t$ とすると、次が成り立つ。

$ \begin{cases}
be^{at}=bt+a & \\
bae^{at}=b &
\end{cases}$

$ ab\ne0$ に注意して、下の式から $ e^{at}=\dfrac{1}{a}$ が分かる。式を見ると、$ a>0$ であることも分かる。これを上の式に代入して、


$\displaystyle b\cdot \dfrac{1}{a}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle bt+a$  
$\displaystyle bt$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{b-a^2}{a}$  
$\displaystyle t$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{b-a^2}{ab}$  

となる。さて、 $ e^{at}=\dfrac{1}{a}$ は両辺の対数を取ると、

$\displaystyle at=-\ln{a}
$

であるから、 $ t=\dfrac{b-a^2}{ab}$ を代入して、 $ \dfrac{b-a^2}{b}=-\ln{a}$ となる。これを整理することによって、

$ b=\dfrac{a^2}{1+\ln{a}}\ \left(a\ne \dfrac{1}{e}\right)$ が答えであることが分かる。

$ (2)$
$ (1)$ より、


$\displaystyle \dfrac{db}{da}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{2a(1+\ln{a}-a^2\cdot \frac{1}{a})}{{(1+\ln{a})}^2}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{2a+2a\ln{a}-a}{{(1+\ln{a})}^2}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{a(1+2\ln{a})}{{(1+\ln{a})}^2}$  

である。したがって、$ a\ (>0)$ の関数$ b$ に対して、 $ \dfrac{db}{da}$ は、 $ 0<a<\dfrac{1}{\sqrt{e}}$ において負であり、 $ a=\dfrac{1}{\sqrt{e}}$ において0 であり、 $ a>\dfrac{1}{\sqrt{e}}$ において正である。よって、$ b$ の極小値は、 $ a=\dfrac{1}{\sqrt{e}}$ のとき、

$ \dfrac{\frac{1}{e}}{1+\ln{\frac{1}{\sqrt{e}}}}=\dfrac{2}{e}$ である。

$ (3)$
$ \displaystyle \lim_{a\to0}{b}=0,\ \lim_{a\to\frac{1}{e}-}{b}=-\infty,\ \lim_{a\to\frac{1}{e}+}{b}=\infty,\ \lim_{a\to\infty}{b}=\infty$ に注意すると、グラフの概形は下の図のようになる。

\includegraphics[width=110mm]{1.eps}


$ \fbox{3}$

$ l,\ m$ の方程式で$ x=0$ とおいて、 $ A(1,\ 0),\ B(-1,\ 0)$ が分かる。$ l$$ m$ の交点を求めよう。$ l,\ m$ の方程式を連立させて、


$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}\sqrt{3} & -1 \\ 1 & -\sqrt{3}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{c}\sqrt{3} \\ -1\end{array}\right)$  
$\displaystyle \left(\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}-\sqrt{3} & 1 \\ -1 & \sqrt{3}\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}\sqrt{3} \\ -1\end{array}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{c}-3-1 \\ -\sqrt{3}-\sqrt{3}\end{array}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{c}2 \\ \sqrt{3}\end{array}\right)$  

である。

\includegraphics[width=110mm]{2.eps}

この交点を$ P_0$ として、点$ P_0$ を点$ A$ を中心として、$ \theta$ だけ回転させた点を$ P_l$ とすると、原点を$ O$ として、


$\displaystyle \overrightarrow{OP_l}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OA}+\left(\begin{array}{cc}\cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta}\end{array}\right)\overrightarrow{AP_0}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{c}1 \\ 0\end{array}\right) +\left(\begin{arra...
...{\theta}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 \\ \sqrt{3}\end{array}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{c}\cos{\theta}-\sqrt{3}\sin{\theta}+1 \\ \sqrt{3}\cos{\theta}+\sin{\theta}\end{array}\right)$  

である。同様に、点$ P_0$ を点$ B$ を中心として、$ \theta$ だけ回転させた点を$ P_m$ とすると、


$\displaystyle \overrightarrow{OP_m}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OB}+\left(\begin{array}{cc}\cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta}\end{array}\right)\overrightarrow{BP_0}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{c}-1 \\ 0\end{array}\right) +\left(\begin{arr...
...{\theta}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3 \\ \sqrt{3}\end{array}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{c}3\cos{\theta}-\sqrt{3}\sin{\theta}-1 \\ \sqrt{3}\cos{\theta}+3\sin{\theta}\end{array}\right)$  

である。題意のように$ l$ を回転させた直線は、点$ A$ と点$ P_l$ を通る。その直線を $ l^{\prime}$ とすると、方程式は、


$\displaystyle \overrightarrow{OA}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{c}1 \\ 0\end{array}\right)$  
$\displaystyle \overrightarrow{OP_l}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{c}\cos{\theta}-\sqrt{3}\sin{\theta}+1 \\ \sqrt{3}\cos{\theta}+\sin{\theta}\end{array}\right)$  

より、

$\displaystyle (x-1)(\sqrt{3}\cos{\theta}+\sin{\theta})=y(\cos{\theta}-\sqrt{3}\sin{\theta})
$

と求めることができる。 $ \cos{\theta},\ \sin{\theta}$ についてこれをまとめると、

$\displaystyle l^{\prime}\ : \ \sin{\theta}(x+\sqrt{3}-1)=-\cos{\theta}(\sqrt{3}x-y-\sqrt{3})
$

となる。全く同様に、題意のように$ m$ を回転させた直線は、点$ B$ と点$ P_m$ を通る。その直線を $ m^{\prime}$ とすると、方程式は、


$\displaystyle \overrightarrow{OB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{c}-1 \\ 0\end{array}\right)$  
$\displaystyle \overrightarrow{OP_m}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\begin{array}{c}3\cos{\theta}-\sqrt{3}\sin{\theta}-1 \\ \sqrt{3}\cos{\theta}+3\sin{\theta}\end{array}\right)$  

より、

$\displaystyle (x+1)(\sqrt{3}\cos{\theta}+3\sin{\theta})=y(3\cos{\theta}-\sqrt{3}\sin{\theta})
$

と求めることができる。両辺を$ \sqrt{3}$ で割って、これは

$\displaystyle (x+1)(\cos{\theta}+\sqrt{3}\sin{\theta})=y(\sqrt{3}\cos{\theta}-\sin{\theta})
$

となる。 $ \cos{\theta},\ \sin{\theta}$ についてこれをまとめると、

$\displaystyle m^{\prime}\ : \ \sin{\theta}(x+y+\sqrt{3})=-\cos{\theta}(x-\sqrt{3}y+1)
$

となる。

$ (1)$


$\displaystyle l^{\prime}$ $\displaystyle :$ $\displaystyle \sin{\theta}(x+\sqrt{3}-1)=-\cos{\theta}(\sqrt{3}x-y-\sqrt{3})$  
$\displaystyle m^{\prime}$ $\displaystyle :$ $\displaystyle \sin{\theta}(x+y+\sqrt{3})=-\cos{\theta}(x-\sqrt{3}y+1)$  

より $ \sin{\theta},\ \cos{\theta}$ を消去すると、

$\displaystyle (x+\sqrt{3}y-1)(x-\sqrt{3}y+1)=(\sqrt{3}x+y+\sqrt{3})(\sqrt{3}x-y-\sqrt{3})
$

である。これを展開して整理すると、 $ x^2+{(y-\sqrt{3})}^2=4$ となる。

\includegraphics[width=80mm]{3.eps}

$ (2)$
$ m^{\prime}$ の式で$ \theta$$ -\theta$ に変えたものが、題意のように$ m$ を負の向きに回転させた直線である。その直線を $ m^{\prime\prime}$ とすると、上の過程から、


$\displaystyle l^{\prime}$ $\displaystyle :$ $\displaystyle \sin{\theta}(x+\sqrt{3}-1)=-\cos{\theta}(\sqrt{3}x-y-\sqrt{3})$  
$\displaystyle m^{\prime\prime}$ $\displaystyle :$ $\displaystyle -\sin{\theta}(x+y+\sqrt{3})=-\cos{\theta}(x-\sqrt{3}y+1)$  

である。 $ \sin{\theta},\ \cos{\theta}$ を消去して、

$\displaystyle (x+\sqrt{3}y-1)(x-\sqrt{3}y+1)=-(\sqrt{3}x+y+\sqrt{3})(\sqrt{3}x-y-\sqrt{3})
$

である。これを展開して整理すると、$ x^2-y^2=1$ となる。

\includegraphics[width=100mm]{4.eps}

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