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東京医科歯科大学1991年度入試問題数学解答

90分、120点。


$ \fbox{1}$

$ (1)$
$ 9=1\times 9,\ 3\times 3,\ -1\times -9,\ -3\times -3$ であるから、下の表を参考にして、答えは

$ (a,\ b)=(4,\ 5),\ (0,\ 3),\ (-4,\ 5),\ (-4,\ -5),\ (0,\ -3),\ (4,\ 5)$ となる。

$ b-a$ $ b+a$ $ b$ $ a$
$ 1$ $ 9$ $ 5$ $ 4$
$ 3$ $ 3$ $ 3$ $ {0}$
$ 9$ $ 1$ $ 5$ $ -4$
$ -1$ $ -9$ $ -5$ $ -4$
$ -3$ $ -3$ $ -3$ $ {0}$
$ -9$ $ -1$ $ -5$ $ 4$

$ (2)$
$ \sqrt{c^2+72}=d\ (d>0)$ とおくと、


$\displaystyle c^2+72$ $\displaystyle =$ $\displaystyle d^2$  
$\displaystyle d^2-c^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 72$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2^3\times 3^2$  
$\displaystyle (d+c)(d-c)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2^3\times 3^2$  

となる。 $ d+c-(d-c)=2d>0$ が偶数であることと、$ 72$ の約数が $ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 9,\ 12,\ 18,\ 24,\ 36,\ 72$ であることから、下の表のようになる。ただし、表では$ c,\ d$ が整数にならないところでは$ \times$ で表している。以上より、求める答えは

$ c=-17,\ -7,\ -3,\ 3,\ 7,\ 17$ となる。

$ d+c$ $ d-c$ $ d$ $ c$
$ 72$ $ 1$ $ \times$ $ \times$
$ 36$ $ 2$ $ 19$ $ \pm 17$
$ 24$ $ 3$ $ \times$ $ \times$
$ 18$ $ 4$ $ 11$ $ \pm 7$
$ 12$ $ 6$ $ 9$ $ \pm 3$
$ 9$ $ 8$ $ \times$ $ \times$

$ (3)$


$\displaystyle a^2+7ab+12b^2+a+3b-9$ $\displaystyle =$ $\displaystyle {0}$  
$\displaystyle a^2+(7b+1)a+3b(4b+1)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 9$  
$\displaystyle (a+4b+1)(a+3b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 9$  

であるから、下の表を参考にして、

$ (a,\ b)=(36,\ -9),\ (6,\ -1),\ (-20,\ 7),\ (-30,\ 7),\ (0,\ -1),\ (26,\ -9)$ が答えとなる。

$ a+4b+1$ $ a+3b$ $ a$ $ b$
$ 1$ $ 9$ $ 36$ $ -9$
$ 3$ $ 3$ $ 6$ $ -1$
$ 9$ $ 1$ $ -20$ $ 7$
$ -1$ $ -9$ $ -30$ $ -7$
$ -3$ $ -3$ $ {0}$ $ -1$
$ -9$ $ -1$ $ 26$ $ -9$


$ \fbox{2}$

$ (1)$
原点$ O$ を中心とする半径$ 1$ の球の方程式は、 $ x^2+y^2+z^2\leqq 1$ である。$ W$ の方程式は $ x^2+y^2\leqq \dfrac{z^2}{3}$ であるから、 $ z=k\ (-1\leqq k\leqq 1)$ で立体を切ると、

$ (i)$
$ \dfrac{k^2}{3}-(1-k^2)\geqq 0$ 、すなわち、 $ \vert k\vert\geqq \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ のときには、下の図から断面の面積は $ \pi(1-k^2)$ となる。

\includegraphics[width=80mm]{1.eps}

$ (ii)$
$ k\leqq \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ のときには、下の図から、断面の面積は $ \dfrac{k^2}{3}\pi$ となる。

\includegraphics[width=80mm]{1.eps}

したがって、求める体積$ V$ は、


$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{-1}^{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\pi(1-k^2)dk}+\int_{-\frac{\sqrt{...
...\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{k^2}{3}\pi dk}+\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1}{\pi(1-k^2)dk}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{k^2}{3}\pi dk} +2\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1}{\pi(1-k^2)dk}$  

となる。計算を続けると、


$\displaystyle \dfrac{V}{2\pi}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{k^2}{3}dk}+\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1}{(1-k^2)dk}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left[\dfrac{k^3}{9}\right]_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}+\left[k-\dfrac{k^3}{3}\right]_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{24}+\left(1-\dfrac{1}{3}\right)-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{8}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{2-\sqrt{3}}{3}$  

となる。よって、 $ V=\dfrac{2(2-\sqrt{3})}{3}\pi$ が求める答えである。

$ (2)$
$ \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=\vert\overrightarrow{OP}\vert\vert\overrightarrow{OQ}\vert\cos{\theta}$


$\displaystyle \overrightarrow{OP}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (x,\ y,\ z)\ \left(x^2+y^2\leqq \dfrac{z^2}{3}\right)$  
$\displaystyle \overrightarrow{OQ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (4,\ 3,\ 5)$  

を代入して、

$\displaystyle 4x+3y+5z=\sqrt{z^2+y^2+z^2}\sqrt{4^2+3^2+5^2}\cos{\theta}
$

となる。したがって、

$\displaystyle \sqrt{50}\cos{\theta}=\dfrac{4x+3y+5z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
$

となる。今、 $ x^2+y^2\leqq \dfrac{z^2}{3}$ より、$ W$ 上の点は

$\displaystyle x=r\cos{\phi},\ y=r\sin{\phi},\ 0\leqq r\leqq \dfrac{z}{\sqrt{3}}
$

とおくことができる。したがって、

$\displaystyle \sqrt{50}\cos{\theta}=\dfrac{4r\cos{\phi}+3r\sin{\phi}+5z}{\sqrt{r^2+z^2}}
$

となる。今、


$\displaystyle 4\cos{\phi}+3\sin{\phi}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (4,\ 3)\cdot (\cos{\phi},\ \sin{\phi})$  
  $\displaystyle \leqq$ $\displaystyle \sqrt{4^2+3^2}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle {5}$  

であるから、


$\displaystyle \sqrt{50}\cos{\theta}$ $\displaystyle \leqq$ $\displaystyle \dfrac{5(r+z)}{\sqrt{r^2+z^2}}$  
$\displaystyle \sqrt{2}\cos{\theta}$ $\displaystyle \leqq$ $\displaystyle \dfrac{r+z}{\sqrt{r^2+z^2}}$  

である。 $ f(r)=\dfrac{r+z}{\sqrt{r^2+z^2}}\ \left(0\leqq r\leqq \dfrac{z}{\sqrt{3}}\right)$ とおくと、


$\displaystyle f^{\prime}(r)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{\sqrt{r^2+z^2}-(r+z)\cdot \frac{r}{\sqrt{r^2+z^2}}}{r^2+z^2}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{z(z-r)}{(r^2+z^2)\sqrt{r^2+z^2}}$  
  $\displaystyle >$ $\displaystyle {0}$  

となる。したがって、$ f(r)$ は増加関数であるから、


$\displaystyle f(r)$ $\displaystyle \leqq$ $\displaystyle f\left(\dfrac{z}{\sqrt{3}}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{\frac{z}{\sqrt{3}}+z}{\sqrt{\frac{z^2}{3}+z^2}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$  

である。以上より、


$\displaystyle \cos{\theta}$ $\displaystyle \leqq$ $\displaystyle \dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$  

である。等号は、 $ x=\dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{z}{\sqrt{3}},\ y=\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{z}{\sqrt{3}}$ のときに成り立つ。よって、 $ \cos{\theta}$ の最大値は $ \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$ となる。


$ \fbox{3}$

$ (1)$
$ \left(y+\dfrac{dy}{dx}\right)\sin{x}=y\cos{x}$ を変形して、

$\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=y\left(\dfrac{\cos{x}}{\sin{x}}-1\right)
$

となる。したがって、

$\displaystyle \dfrac{dy}{y}=\left(\dfrac{\cos{x}}{\sin{x}}-1\right)dx
$

である。両辺を各々の変数で積分して、


$\displaystyle \ln{\vert y\vert}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \ln{\vert\sin{x}\vert}-x+C$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \ln{\{\vert\sin{x}\vert e^{-x}e^{C}\}}$  

となる。ただし、式中に現れる未定義の文字は積分定数である。これより、

$\displaystyle \vert y\vert=\vert C^{\prime}e^{-x}\sin{x}\vert
$

となる。ただし、 $ C^{\prime}=e^C$ である。これを改めて$ C$ とする。以上より、 $ y=Ce^{-x}\sin{x}$ が求める一般解となる。

$ (2)$
区間 $ 0\leqq x\leqq \pi$ において、$ y=f(x)$$ x$ 軸によって囲まれる部分の面積を$ S$ とすると、この区間において $ \sin{x}\geqq 0$ であるから、

$\displaystyle S=\vert C\vert\int_{0}^{\pi}{e^{-x}\sin{x}dx}
$

となる。積分 $ \displaystyle \int{e^{-x}\sin{x}dx}$ を簡単に求めるために、

$\displaystyle \int{e^{-x}\sin{x}dx}=e^{-x}(a\cos{x}+b\sin{x})+D
$

とおいて、定数$ a,\ b$ を定める。$ D$ は積分定数である。両辺を$ x$ で微分して、


$\displaystyle e^{-x}\sin{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -e^{-x}(a\cos{x}+b\sin{x})+e^{-x}(-a\sin{x}+b\cos{x})$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{-x}\{(-a+b)\cos{x}+(-a-b)\sin{x}\}$  

となる。両辺を見比べて、

\begin{displaymath}
\begin{cases}
-a+b=0 & \\
-a-b=1 &
\end{cases}\end{displaymath}

、すなわち、 $ a=b=-\dfrac{1}{2}$ とすればよい。これより、


$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\dfrac{\vert C\vert}{2}[\cos{x}+\sin{x}]_{0}^{\pi}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\dfrac{\vert C\vert}{2}\{e^{-\pi}(-1+0)-e^{0}(1+0)\}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \dfrac{\vert C\vert}{2}(e^{-\pi}+1)$  

と計算できる。この値が $ e^{-\pi}+1$ と等しいので、$ C=\pm2$ である。よって、

$ f(x)=\pm2e^{-x}\sin{x}$ が求める答えである。

$ (3)$
$ (2)$ より、 $ f^{\prime}(x)=\pm2e^{-x}(-\sin{x}+\cos{x})$ である。 $ f^{\prime}(x)=0$ となるのは $ \sin{x}=\cos{x}$ 、すなわち、 $ x=n\pi+\dfrac{\pi}{4}$ のときである。ここで$ n$ は整数である。

さて、$ x=n\pi$ において$ f(x)=0$ であり、$ x=n\pi$ の近傍において、任意の$ x$ に対して $ \vert f(x)\vert\geqq f(n\pi)=0$ であるから、$ y=\vert f(x)\vert$$ x=n\pi$ において極小である。以上より、$ y=\vert f(x)\vert$ が極値を取る$ x$ は、

$ x=
\begin{cases}
n\pi+\dfrac{\pi}{4} & (LMax) \\
n\pi & (Lmin)
\end{cases}$

となる。

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