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東京医科歯科大学1997年度入試問題数学解説

90分、120点。


$ \fbox{1}$ レベル:$ \beta$ 、解答時間:30分

$ (1)$
簡単な問題ですが、$ y=0$ となる場合や、$ x=y=0$ となる場合がないことなどに注意しましょう。

$ (2)$
$ (1)$ と同じように成分計算をしても解けますが、解答のように共役複素数を持ち出すと計算が楽になります。これも除外点に注意しましょう。


$ \fbox{2}$ レベル:$ \beta$ 、解答時間:30分

$ (1)$
ベクトルの標準的な問題です。$ 2$ 通りに表して係数比較、という流れですね。

$ (2)$
これも$ (1)$ と同様です。点$ Q$ が辺$ CE$ 上にあることをうまく利用しましょう。

$ (3)$
平行という条件を捉えるのに、巧妙な考え方を持ち出す必要はありません。 $ \overrightarrow{OQ}$ が平面$ ABC$ と交わる点が点$ P$ ですので、 $ \overrightarrow{OF}$ が平面$ ABC$ と交わる点も考えてみましょう。そのような点を$ G$ とすると、直線$ FQ$ が平面$ ABC$ と平行なとき、三角形$ OFQ$$ OGP$ は相似になるのです。


$ \fbox{3}$ レベル:$ \beta$ 、解答時間:30分

$ (1)$
式で解きます。最初にグラフを描いて、交点が$ 4$ 個あることを確認しておきましょう。

$ (2)$
解答のように$ y$ で積分するのが簡単でしょう。その際$ (1)$ の計算過程を使うことが出来ます。$ y$ 軸のまわりの回転体の体積を求めるのに、巧妙な方法があるのですが、ここではその方法(バームクーヘン分割などと呼ばれているようです)を用いる必要は全くありません。

医科歯科大学の問題は、教科書レベル知識と、柔軟な発想力さえあれば、必ず解決できるように作られています。使いこなせない知識をため込んでも、なんの役にも立ちません(とはいえ、バームクーヘン分割は便利な手法ですので、機会があればご紹介したいとは思います)。

$ (3)$
$ (2)$ が出来ればご褒美の問題です。


全体講評

標準的なセットである。高得点での争いになったことであろう。

$ \fbox{1}$$ (1)$ は必ず解く。$ (2)$ はうまく置き換えないと計算が大変だが、解けないほどではない。

$ \fbox{2}$ はベクトルの重厚な問題。総合的な能力が試される。$ (1),\ (2)$ は教科書レベルであるので、計算が大変でも確実に解きたい。$ (3)$ は平行という条件のとらえ方がやや難しいかもしれない。色々な手法があると思うので、各自研究されるといい。

$ \fbox{3}$ も決して難しくはない。計算主体であり、奇抜な発想は求められていない。

全体として医学科で8割程度、歯学科で7割5分、その他の学部で6割程度は欲しいセットである。標準的な問題は確実に取れるようにしておくことが、良い対策になるであろう。

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