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東京医科歯科大学1995年度入試問題数学解説

90分、120点。


$ \fbox{1}$ レベル:$ \beta$ 、解答時間:20分

見かけは一次変換の問題ですが、中身は確率です。

$ (1)$
解答のように余事象を数え上げてしまうのが一番早いでしょう。確率の問題では、ある程度数え上げる目星がついたら、うまいことやろうとせず、地道に数え上げるのが一番です。もちろん日頃の学習では、いい方法を探すことは重要ですが、特に時間の余裕のない試験では、きっちりと数えあがることがが何よりも大切です。

$ (2)$
ここでも余事象を考えます。


$ \fbox{2}$ レベル:$ \gamma$ 、解答時間:30分

$ (1)$
点を取ってください、という問題です。このような問題は慎重にあたります。

$ (2)$
やっていることは難しくはないのですが。細かい部分の話は省力しても減点にはならないのではないでしょうか。シグマ記号を使わずに、紙にバーッと書いてしまって、係数を比較した方が楽かもしれませんね。

$ (3)$
$ a(n,\ n)=1$ に気が付く必要があります。$ (1)$ がきちんと解けていれば、すぐに気が付きます。$ b_n$$ b_{n-1}$ の関係式を出したの処理も、問題ないでしょう。

$ (4)$
これも$ (3)$ とやることは同じです。メインは

$\displaystyle c_n=c_{n-1}+\dfrac{(n-1){(n-2)}^2}{2},\ c_2=0 \ (n\geqq 3)
$

の処理の部分です。いきなり展開してバラさずに、固まりで捉えられる部分は固まりのまま計算を進めましょう。医科歯科大学のような高レベルの受験生が集まる大学では、こういう処理をきちんと行って、最後まで正しく計算を進められるかどうかで、得点に差が出てきます。展開してからシグマ計算しようとした方は、よく心に留めておかれると良いでしょう。


$ \fbox{3}$ レベル:$ \gamma$ 、解答時間:30分

$ (1)$
当然余弦定理を使います。

$ (2)$
ここも余弦定理です。$ (1),\ (2)$ の結果は後で使うので、正しく求めましょう。

$ (3)$
たくさん図を描く必要はありません。必要なのは、点$ P$ と回転軸との距離、および回転角だけです。後者の回転角は、今はほとんどの場合 $ \pi-\gamma$ となります。これに気が付くことが第一の関門。

第二の関門の回転軸ですが、たとえば $ ABD\rightarrow ACD$ の回転では、最初に描いた図を見ると、共通の辺が$ AD$ ですから、この辺が回転軸になることがすぐに分かります。あとは、点$ P$ から$ AD$ への垂線の長さを求めれば大丈夫です。

$ (4)$
$ (3)$ がきちんと解けた方へのサービス問題です。


全体講評

全体としてはやや穏やかなセットである。受験生の多くが苦手とする空間図形の問題$ \fbox{3}$ も、決して難しくはない。

$ \fbox{1}$ は一次変換とは関係のない確率の問題である。余事象を考えればすぐに解ける。

$ \fbox{2}$ は細かい部分の処理が面倒な問題であるが、医科歯科大学では頻出タイプであるし、発想そのものは自然な流れで誘導されるので、少なくとも $ a(n,\ n-2)$ $ a(n-1,\ n-3)$ との間の関係式を立式するところまでは書き上げたい。その後の計算処理で得点に差がついたことであろう。

$ \fbox{3}$$ (1),\ (2)$ は平面図形の問題である。$ (3)$ も、「回転の問題では回転角と回転軸を正しく捉えること」が重要だと認識出来ていた受験生にとっては、易しかったことであろう。

全体として、高得点が求められるセットである。医学科では $ \fbox{2}(3),\ \fbox{3}$ の出来が合否を左右する。その他の学部でも7割とっても安心できない。

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