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東京医科歯科大学1990年度入試問題数学解説

90分、120点。


$ \fbox{1}$ レベル:$ \beta$ 、解答時間:25分

$ (1)$
確実に取っていきましょう。結果だけでもいいのですが、きちんとご自分の力で説明できるようにしておきましょう。

$ (2)$
$ 12$ の倍数を適当に挙げていきます。$ (3)$ の結果を見ると、それほど多くの数は条件に適合しないことが分かります。

$ (3)$
答えだけなら誰でも出せますが、きちんとした説明は意外に厄介。適当な記述ですと、大幅に差をつけられてしまいそうです。ここは、数列で $ a_{n+1}>a_n$ を示すときの定石、

$\displaystyle \dfrac{a_{n+1}}{a_n}>1\ (a_n>0)
$

を示すことを参考にしてみます。いろいろな場面で現れますので、この問題で説明がうまくいかなかった方は、押さえておかれると役に立つと思います。解答に現れた、$ f(a)$$ g(b)$ を実際の関数と見なして、微分しても良いのですが、少しだけ大げさな気もします。どんな解き方をするにせよ、解答の最後の表のようなものを書く必要があるでしょう。


$ \fbox{2}$ レベル:$ \beta$ 、解答時間:25分

$ (1)$
点を取ってください、という問題ですから、こういう場面で計算ミスをしないように、余計に慎重になるようにします。難しい問題ですと、計算ミスをしても救いよう(部分点など)があるのですが、この問題では計算ミス=ゼロ点でしょう。

$ (2)$
与えられた関係式の$ x$ に数字を代入できることに気が付くと、スラスラと解けます。


$\displaystyle a_{1,\ 0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2$  
$\displaystyle a_{n,\ 0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{n-1,\ 0}+n-1 \ (n\geqq2)$  

を解くことも、皆さんなら朝飯前でしょう。

$ (3)$
これも簡単。要するに、数列の問題です。

$ (4)$
多少頭を使いますが、微分に気がつくとあっさり解けます。この程度の発想は、医科歯科受験生の方なら、身につけておきたいという出題者からのメッセージでしょう。 $ c_n=2c_{n-1}+2^n$ を出した後に、両辺を$ 2^n$ で割るのも手筋です。


$ \fbox{3}$ レベル:$ \beta$ 、解答時間:30分

$ (1)$
多少文字が多くてゴチャゴチャしますが、やっていることは単なる計算です。

$\displaystyle \left(\begin{array}{c}X \\ Y\end{array}\right)=\left(\begin{array...
...frac{1}{a} & b\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right)
$

として、 $ X=\cdots,\ Y=\cdots$ の式をそのまま$ C_1,\ C_2$ の方程式に代入しないようにお気をつけください。

$ (2)$
$ (1)$ で求めた$ L_1,\ L_2$ の方程式を連立させても、もちろん結構です。

$ (3)$
一般に、正方行列$ A$ で表される一次変換$ f$ によって、図形$ P$ が図形$ Q$ に移ったとすると、図形の面積は、$ A$ の行列式を$ \det{A}$ として、$ \vert\det{A}\vert$ 倍されます。ただし、$ \vert\det{A}\vert$$ \det{A}$ の絶対値です。教科書にも掲載されていますし、試験で断りなく使っても全く問題ありません。$ (1)$ で求めた$ L_1,\ L_2$ の方程式から面積を出してもいいのですが、時間の無駄のような気がします。

$ (4)$
最後のおまけの計算問題です。慎重に取っていきましょう。


全体講評

$ \fbox{1},\ \fbox{2},\ \fbox{3}$ どれから手をつけても構わないだろう。医学科受験生はどの一問も落とせない。医学科で、満点、歯学科で9割以上、その他の学科の受験生で8割以上取らないと安心できない。極めて易しい問題のそろったセットである。

決めてとなるのは、 $ \fbox{1}(3)$ の記述、 $ \fbox{2}(4)$ くらいだが、例年の医科歯科数学のレベルからみても、決して難しいとは言えない。

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